Cardano

Vier Schnecken sitzen in den Ecken eines Quadrats und kriechen jeweils auf ihre rechte Nachbarschnecke zu.

Das Quadrat habe die Seitenlänge 1 Meter. Betrachte die Schnecken einmal als punktförmig und einmal als halbkugelförmig mit Durchmesser 1 cm.

Auf welchen Kurven kriechen die Schneckenmittelpunkte, wie lang ist ihr Weg bis zum Zusammentreffen und wie oft umrunden sie den Quadratmittelpunkt?

Ein Potenzturm ist zum Beispiel ein Term der Form x^(x^(x^(x^x))) auch kurz x^x^x^x^x geschrieben.

Es sei eine Folge ( a_n (x) ) von Potenztürmen gegeben mit:

a_1 = x

a_2 = x^x

a_3 = x^(x^x) usw.

Die Folge wird auch als unendlicher Potenzturm bezeichnet. Wenn ein Grenzwert der Folge existiert, wird er als Wert des unendlichen Potenzturms bezeichnet.

Zeige:

Für alle x mit 0 < x <= e^(1/e) (e - Eulersche Zahl)

konvergiert der Potenzturm.

Für alle anderen positiven x divergiert der Potenzturm.

Anleitung:

(i) Zeige, dass zu jedem zulässigen x ein t mit 0<t<e existiert mit x=t^(1/t).

(ii) Zeige, dass (a_n (x) ) gegen t konvergiert.

Hintergrund:

In der Aufgabe

http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Ao...

wird in einer Antwort (mit vielen Stimmen!!??!!) behauptet:

1. Der Potentenzturm würde für x<1 gegen 1 konvergieren.

2. Der Potenzturm würde x=1+epsilon bzw x>1 stets divergieren.

Hier soll gezeigt werden, dass diese Behauptungen beide falsch sind.

Viel Spass damit.

Aus besonderem Anlass diesmal schon am Donnerstag.

Viel Spass mit diesem eigenartigen 'Strahlensatz' !

Sei A ein Punkt auf einem Kreis mit Radius r. d bezeichne den Durchmesser, der in A beginnt. Ein in A beginnender Strahl, der mit d einen Winkel zwischen 45° und 90° bildet, schneidet den Kreis in E und die Mittelsenkrechte auf d in B. Ein weiterer Strahl, der mit d einen Winkel zwischen 0° und 45° bildet, schneidet den Kreis in C und die Mittelsenkrechte in F.

Zeige: |AB| : |AC| = |AF| : |AE|

Ein Kreis liege innerhalb eines Kreises mit doppeltem Radius am Rand. Der Berührungspunkt werde auf dem kleinen Kreis rot markiert. Wie sieht die Kurve des roten Punktes aus, wenn der kleine Kreis am großen entlanggerollt wird? (gesucht ist natürlich auch der Beweis dazu)

Auf der Strecke vom roten Punkt zum Mittelpunkt des kleinen Kreises werde ein weiterer Punkt grün markiert. Wie bewegt sich der grüne Punkt?

Bestimme alle natürlichen Zahlen n>2, für die gilt:

Ist f eine ganz-rationale Funktion (in einer Variablen) vom Grad n, deren lokale Hochpunkte symmetrisch zur 2. Achse liegen, dann ist auch der gesamte Graph von f achsensymmetrisch.

Das ist in der Rubrik 'Mathematik' eine vielleicht doch erstaunliche Frage.

Schließlich wirkt (1) der gleiche Rock nicht an jeder Frau gleich anziehend und ebenso wirkt (2) er nicht auf jeden Betrachter gleich anziehend. Und wie soll die Anziehung mathematisch betrachtet werden können?

Hier soll eine einfache Modellierung der Situation untersucht werden. Ist b die sichtbare Länge der Beine und a die Augenhöhe des Betrachters. Aus moralischen Gründen setzen wir a>b voraus. Ist schließlich d der Abstand, bei dem der Blickwinkel des Betrachters auf den sichtbaren Teil der Beine am größten ist, dann bezeichne 1/d die Anziehung.

Um Komplikationen zu vermeiden: Die Röcke seien eng anliegend und die Schuhe werden einfach mit zum sichtbaren Bein gezählt.

Erfüllt die Modellierung (1) und (2) ?

Wie groß ist die Anziehung in Abhängigkeit von a und b?

Und wie lautet die Antwort auf die ursprüngliche Frage?

Eine Leiter ragt an einer Wand 4m hoch

und steht unten 2m ab. 1m über dem Boden

steht ein Kind auf der Leiter, die Nasenspitze

1,25m über dem linken Fuß. Da beginnt

die Leiter zu rutschen. Das Kind erstarrt

vor Schreck...

Auf welchen Kurven bewegen sich der linke

Fuß F bzw. die Nasenspitze N?

Auf einem Frühlingsfest werden an einem Stand Fleischspieße in den Längen 10cm, 20cm,..., bis 80 cm gegrillt. Das besondere Angebot besteht darin aus einer verdeckten Box mit 8 leeren Spießen der verschiedenen Längen 3 zu ziehen. Wenn sich mit diesen Spießen ein Dreieck legen läßt, dann gibt es Fleischspieße dieser Längen gratis, wenn nicht, dann kosten sie das Doppelte. Wie groß ist die Chance auf kostenlose Spieße?

Zusatz: Kann jemand eine Formel für n Spieße der Längen bis n*10cm finden?

Zeige: Für x,y,z ∈ ] 0 ; ½] gilt

[ 1/(1-x) ] [ 1/(1-y) ]² [ 1/(1-z) ]³

≤ [ (x+2y+3z) / ( (1-x)+2(1-y)+3(1-z) ) ]^6

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks D zerlegen das Dreieck in 6 kleinere Dreiecke.

Zeige, dass die Schwerpunkte dieser kleinen Dreiecke auf einer Ellipse liegen, deren Mittelpunkt der Schwerpunkt von D ist.

Zur Erinnerung: Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

Viel Spaß.

P.S.: Es wäre schön, wenn ihr euch an der Abstimmung zu

http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=At...

beteiligen würdet. Dort droht sonst "Vandalismus" zu gewinnen.

Beweise die folgende Darstellung der Eins:

16*cos(π/5)*cos(2π/5)*cos(3π/5) *cos(4π/5) = 1

Viel Spaß!

Zeige:

Mit den Bezeichnungen

a = Wurzel(5)+2 und b = Wurzel(5) - 2

A = 3te-Wurzel(a) und B=3te-Wurzel(b)

gilt: A - B = 1

Diese Frage wurde kürzlich schon einmal gestellt. Es geht darum, wie eine senkrecht eingeführte Meßlatte zu beschriften ist, damit der prozentuale Tankinhalt abgelesen werden kann. (Das Problem ist unter den Stichworten 'Tankproblem' und 'Keplersche Faßregel' bekannt.)

http://de.answers.yahoo.com/question/;_ylc=X3oDMTB...

Dort wurde eine Antwort mit beachtlichen 5 Stimmen als beste gewählt, die eine Formel für den Tankinhalt von Wikipedia kopiert und behauptet, dass diese Formel "wenig aufwändig" ohne Integration bzw. Keplerschen Faßregel hergeleitet werden könne.

Bei Wikipedia wird die Formel, die m.E. mit der Keplerschen Faßregel korrespondiert, mit (im Vergleich zu Kepler) 'modernem' Integrationskalkül bewiesen.

Hier soll nun dem besten Antworter und den 5 Experten die Gelegenheit gegeben werden, dem staunenden Publikum diese weniger aufwändige Herleitung zu erklären.

Ich bin sehr gespannt.

Ich wünsche allen ein schönes Osterfest!

Und damit es niemandem langweilig wird....

An einer rechteckigen Lichtung mit den Ecken A, B, C, D hat ein Hase in der Ecke A sein Lager. Die Ecke B ist 75 Meter und die Ecke D 145 Meter entfernt. Seine Freundin hat ihr Lager in einer der anderen Ecken. Der Hase will am Ostersonntag auf dem Weg zu seiner Freundin noch ein paar Ostereier verstecken und beschließt dazu folgendes Vorgehen.

Er verläßt sein Lager auf der Winkelhalbierenden seiner Ecke und da er gern rechte Haken schlägt (rechtwinklige Haken natürlich, der Hase ist schließlich kein Boxer) läuft er immer bis zum Rand der Lichtung und schlägt dann einen rechten Haken. Dabei läßt er jeweils ein Osterei fallen.

Wieviel Eier muß er mitnehmen und in welcher Ecke wohnt seine Freundin?

Und wie lange dauert sein Frühsport bei 50kmh?

(Schön wäre eine Formel für die Anzahl der Eier in Abhängigkeit von n bzw. k Metern Breite bzw. Länge der Lichtung mit Beweis).

* 'von Ostereiern'

Ein Jäger geht in seinem Urlaub auf Entenjagd. Ab der 2. Woche schießt er jeden Tag mehr Enten als 2 Tage zuvor, aber weniger als eine Woche zuvor.

a) Wie lange dauerte sein Urlaub?

b) Wieviel Enten hat er mindestens geschossen

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Viel Spaß damit.

Gegeben sind 9 verschiedene Punkte in einem Würfel der Kantenlänge 1.

Zeige, dass für wenigstens 2 Punkte der Abstand voneinander kleiner als die Hälfte von Wurzel aus 3 ist.

Ich bin gespannt, ob das jemand lösen kann.