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Cardano's Weekend Special No 7: Ungleichungen?
Zeige: Für x,y,z ∈ ] 0 ; ½] gilt
[ 1/(1-x) ] [ 1/(1-y) ]² [ 1/(1-z) ]³
≤ [ (x+2y+3z) / ( (1-x)+2(1-y)+3(1-z) ) ]^6
Guten Morgen zusammen!
Mir ist gestern ein Tippfehler unterlaufen. Die Zähler der linken Seite sollten nicht 1 sein, sondern der Reihe nach x,y,z. Hier noch einmal die Ungleichung (ohne Sonderzeichen):
Zeige: Für x,y,z € ] 0 ; ½] gilt
[ x/(1-x) ] [ y/(1-y) ]^2 [ z/(1-z) ]^3
<= [ (x+2y+3z) / ( (1-x)+2(1-y)+3(1-z) ) ]^6
x,y,z dürfen auch gleich sein, in dem Fall gilt die Gleichheit.
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Einen Tipp? Logo!
Das ist der Rhytmus,
wo ich immer mit muss.
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2. Tipp:
Mein Freund Jens sen. meinte, dass vielleicht das Krümmungsverhalten von ln(1-x) - ln x helfen könnte.
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3. Tipp:
Die Brillengläser meines Freundes Jens sen., den wir auch kurz Jensen nennen, sind konvex.
Nun braucht ihr nur noch eure Brillen zu putzen und die Lösung strahlt euch an.
@Wurzelgnom:
Lamda-i = i funktioniert nicht, da die Summe der Lamda-i gleich 1 sein muss. Aber das läßt sich doch leicht erreichen.
Gruß C.
3 Antworten
- WurzelgnomLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Zu zeigen:
[x/(1 - x)] [y/(1 - y)]²[z/(1 - z)]³
</= [(x + 2y + 3z)/((1- x)+2(1- y)+ 3(1 - z))]^6
<=>
1/6 [ln(x) - ln(1 - x)] + 1/3 [ ln(y) - ln(1 - y)] + 1/2 [ ln(z) - ln(1 - z)]
</= ln (x + 2y + 3z) - ln [6 - (x +2y +3z)]
Und wenn der Kumpel Jens sen. nun der Meinung ist, dass die Funktion f mit f(x) = ln(1 - x) - ln(x) konvex sei, dann müsste ln(x) - ln(1 - x) konkav sein.
Dann gilt nach Jensen:
л1 f(x) + л2 f(y) + л3 f(z) </=f(л1 x + л2 y + л3 z)
mit л1 = 1/6, л2 = 2/6 = 1/3 und л3 = 3/6 = 1/2
und x1 = x, x2 = y, x3 = z
=>
1/6 [ln(x) - ln(1 - x)] + 1/3 [ ln(y) - ln(1 - y)] + 1/2 [ ln(z) - ln(1 - z)]
</= Summe ( i = 1 bis 3) von л(i) f(xi)
= 1/6 f(x) + 1/3 f(y) + 1/2 f(z)
= 1/6 [ln x - ln(1 - x)] + 1/3[ln y - ln(1 - y)] + 1/2 [lnz - ln(1 - z)]
und nu???
- vor 1 Jahrzehnt
@Wonko:
Ich habe die Aufg, nochmals abgescshrieben:
http://img72.imageshack.us/img72/1693/clever21fg2....
Hoffe, es hilft dir.
Leider bin ich morgen weg, bin erst um 17:00 wieder da, kann diese aufgabe nicht mitmachen :-(
viel spaß an euch alle
d_inos
PS:
@Cardano:
Wie sind x,y,z definiert? Sind x,y,z verschieden oder sie können alle gleich sein?
MfG
- vor 1 Jahrzehnt
Ab der Stelle von " ∈ " sehe ich unter Linux im Konqueror mit UTF-8 als default nur das Quadrat für "unbekanntes Zeichen". Ich könnte jetzt raten (vermutlich das Element aus" Zeichen) was gemeint ist, aber so macht das keinen Spass. Yahoo, bitte nachbessern, Cardano, im Zweifel noch mal LaTeX Code dazuschreiben.
