Cardano's Weekend Special No5: Schon wieder Eins?

Hallo Cardano, voraus schon mal Danke für die schöne Aufgabe. Sie war knackiger als Deine Nr.4. Schaute im ersten Moment gar nicht so aus.

Meine Herleitung ist etwas länglich. Hätte gerne eine kürzere gefunden. Habe es aber nicht gesehen.

Viell. hast Du eine kürzere, dann poste sie bitte.

Ich verwende trigometrische Umrechnungen, die aber allgemein bekannt sein sollten

1) cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

2) cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y)

3) cos(x)*cos(y) = 1/2*(cos(x-y) + cos(x+y))

Die Formel 3) kann man aus 1) und 2) durch Addition herleiten.

Dass sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 ist, ist selbsterklärend.

Aber nun zur Aufgabe.

Zur Vereinfachung zwei Definitionen:

x = cos(π/5).

P=cos(π/5) * cos(2π/5) * cos(3π/5) * cos(4π/5)

Erst weitere Vereinfachungen von P:

cos(2π/5) = cos(π/5)*cos(π/5) - sin(π/5)*sin(π/5) =

x^2 - (1 - x^2) = 2 * x^2 - 1

cos(4π/5) = cos(π - π/5) =

cos(π) * cos(π/5) + sin(π) * sin(π/5) = - cos(π/5) = -x

cos(3π/5) = cos(π -2π/5) =

cos(π) * cos(2π/5) + sin(π) * sin(2π/5) =

- cos(2π/5) = - (2 * x^2 - 1)

Daraus folgt:

P = x^2 * (2 * x^2 - 1)^2

So jetzt gehts x an den Kragen:

Mit 3) folgt:

cos(2π/5) * cos(π/5) = 1/2 * (cos(π/5) + cos(3π/5)) =

1/2* (cos(π/5) - cos(2π/5))

Umstellung liefert:

2x*cos(2π/5) = x - cos(2π/5)

Einsetzen von cos(2π/5) oben liefert:

2x*(2*x^2 -1) = x - (2*x^2- 1)

4*x^3 - 2x = x - 2*x^2 + 1

Umstellung liefert:

4*x^3 + 2*x^2 - 3x - 1 = (4*x^2 - 2x - 1)*(x +1) = 0

Für x= cos(π/5) gilt: 0 < x < 1.

Also scheidet die Lösung x=-1 aus.

4*x^2 - 2x - 1 = 0 liefert nach quadr. Ergänzung die zwei Lösungen:

x1 = (1 + wurzel(5))/4

x2 = (1 - wurzel(5))/4

x2 < 0 und scheidet damit auch aus, also x = (1 + wurzel(5))/4

Damit ist wg. 4*x^2 - 2x - 1 = 0:

2*x^2 - 1 = (2x+1)/2 - 1 = x + 1/2 - 1 = x -1/2 =

(-1 + wurzel(5))/4

Damit gilt für P:

P = x^2 * (2 * x^2 - 1)^2 =

( (1 + wurzel(5))/4 * (-1 + wurzel(5))/4 ) ^2 =

( -1/16 + 5/16)^2 = (4/16)^2 = (1/4)^2 = 1/16.

Hallo, Cardano!!

Wollte mich nur zurück melden.

Aber: Diss iss jemein!!!!

Habe heute rumgefummelt und war auf bestem Wege.

Und nun komme ich von der Arbeit nach Hause UND die fertige Lösung ist da!!!!!

Liebe Grüße - und bis zum nächsten Mal.

Nur: Arbeiten muss ich Sonnabend trotzdem wieder - auch wenn das bei uns dann Ostern ist.

@Cardano

Melde Dich mal unter heici2001@yahoo.de

Ich versuchs mal damit:

cos(pi/5) = -cos(3pi/5)

cos(2pi/5) = -cos(4pi/5)

Damit kann man schreiben (cos(pi/5))^2*(cos(2pi/5))^2 = 1/16

cos(pi/5) = (Wurzel(5)+1)/4

cos(2pi/5) = Wurzel(5)-1)/4

dann gilt: ((Wurzel(5)+1)/4)^2*((Wurzel(5)-1)/4)^2 =1/16

Oder?

@Cardano

Ja, Du hast Recht! Übertragungsfehler, me culpa :-(!!!

Richtig ist:

cos(pi/5)= -cos(4*pi/5) und

cos(2*pi/5)= -cos(3*pi/5)

Das ändert aber nichts am Ergebnis, weil ich mit der richtigen Beziehung gerechnet habe.

Die Herleitung der Wurzeltherme habe ich mir gespart und die Beziehung, einfach als bekannt abgeschrieben. Eine Herleitung habe ich nun in einem anderen Forum gefunden:

Blauklaus im Matheplanet:

Mit den additionstheoremen läßt sich zeigen

cos4y=8cos^4y-8cos^2y+1

man verwende nun noch dass gilt

-cos(4pi/5)=cos(pi/5)=:x

also gilt

-x=8x^4-8x^2+1

also

8x^4-8x^2+x+1=0

man sieht sofort daß x=-1 eine Lösung ist

Polynomdivision führt auf

8x^3-8x^2+1

man sieht daß x=1/2 Lösung ist

wiederum Polynomdivision

führt auf das Polynom

8x^2-4x-2

dieses hat die nullstellen

(1±wurzel(5)/4

Danke, aber das ist mir jetzt zu viel Aufwand.