Cardano's Weekend Special No 15: Schnecken?

Komische Traktrix *)

Zenon und Archimedes lassen grüßen.

Ich gehe es mal langsam an:

Wenn die Schnecken begriffsstutzig sind, reagieren sie nicht sofort.

Kapieren sie erst, nachdem sie die Quadratseite durchlaufen haben, dass die andere Schnecke längst weg ist, dann latschen sie ihr Leben lang am Rande des Quadrats.

(hätten sie gleich geahnt, wohin der Hase - sprich: die Schnecke - läuft, hätten sie gleich zur Mitte laufen können. Der Weg wäre die halbe Diagonale = 1/2 Wurzel(2), womit die Intervallgrenzen bekannt wären)

Kriegen sie auf halbem Wege mit, dass die andere Schnecke längst losgekrochen ist, dann ist ihr Weg:

s = 1/2 + 1/4Wurzel(2) + 1/4 + 1/8Wurzel(2) +.....

Das konvergiert gegen 1 + 1/2Wurzel(2) ...

@rauchers

Kann es sein, dass Du Dich beim Radius vertan hast?

Und das sogar gleich zweimal ( r und ro)

*) Korrektur

Von Traktrix im eigentlichen Sinne kann hier nicht die Rede sein, da sich der Abstand ja verringern soll.

**) Ergänzung

Wir wissen:

In Polarkoordinaten unterschieden sich Schnecke P1 und Schnecke P2 zu jedem Zeitpunkt nur durch den Winkel, der bei P2 immer um pi/2 größer ist

Die Tangente an die Kurve in P1 verläuft durch P1 und P2

@Ergänzung am 19.11. 12:07 MEZ

Das Einzige, was ich in Bezug auf die Tangente vier Tage später noch ergänzen könnte:

Sie schließt zu jedem Zeitpunkt mit der Verbindungslinie P1M von Schnecke P1 zum Mittelpunkt des Quadrates M einen Winkel von п/4 ein.

@Ergänzung am 20.11. 11:15 MEZ

Gefunden bei:

http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/matv/pdf_free/kap...

S. 19

"Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem

Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit

abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade durch den Pol schneidet die logarithmische

Spirale stets unter dem gleichen Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer

gleichwinkligen Spirale. ..."

Darüber muss ich jetzt mal nachdenken lassen.

Wenn ich das richtig kapiert habe, ist das also die Spirale e^x * (cos m x + sin m x),

wo m = tan alpha, hier also m = 1 ist

Habe ich nur noch nicht die Quadratlänge mit untergebracht.

Anfangsradius der Schneckenlinie müsste dessen halbe Diagonale sein, also 1/2 Wurzel(2)

@weitere Ergänzung um 15:14 MEZ

Für die Bogenlänge habe ich gefunden:

Wurzel(1 + m²)/m * (R2 - R1),

wobei ich mir über die Bedeutung der Parameter nicht ganz im Klaren bin.

(Quelle: http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/euprojekt-cas/au... )

Wenn m hier ebenfalls der Tangens des Winkels ist, ergäbe sich wieder m = 1

Bei der punktförmigen Annahme bliebe dann wohl

R2 = 1/2 Wurzel(2); R1 = 0

Das ergäbe Wurzel(2) * 1/2 Wurzel(2) = 1

@Ergänzung 21.11. 01:59 MEZ

Falls die Schnecken eine räumliche Ausdehnung mit dem Durchmesser 0,01 (alle Angaben in Meter) haben, verändern sich hier nur R1 und R2

R2 wird 0,495 * Wurzel(2), R1 wird 0,005*Wurzel(2),

für die Differenz ergibt sich: R2 - R1 = 0,49*Wurzel(2)

Damit ergäbe sich für den Streckenzug:

s = Wurzel(2)*0,49*Wurzel(2) = 2*0,49 = 0,98 (in m)

Das entspricht genau der Entfernung zwischen den beiden Schneckenhäuschen.

*) Abschlussüberlegung:

Der erste Ansatz erscheint mir im Nachhinein als der vernünftigste.

Die Schnecken hatten zu Beginn den Abstand 1 m.

Ein Umweg ergäbe sich, wenn die Schnecke die veränderte Richtung erst mit Verzögerung bemerkte.

(Merkt sie es nach der halben Strecke, kommt zum Abstand 1 noch 1/2Wurzel(2) hinzu - vgl. Skizze)

Dieser Umweg konvergiert gegen Null, je schneller die Schnecke reagiert.

Schließlich ist nur noch die ursprüngliche Differenz von 1 Meter zu überwinden.

Das wird verständlich, wenn wir ein transformiertes - sich mitdrehendes - Koordinatensystem betrachten, in dessen Mittelpunkt sich die Zielschnecke befindet.

Entsprechendes gilt für die Schnecken mit ihrem Häuschen, zwischen denen der Abstand 98 cm beträgt.

@Cardano:

Formeln und Begründungen habe ich mit Hilfe der angegebenen Seiten gefunden. Ich hielte es nun für Schummelei, wenn ich die Herleitung über die Integralrechnung dort abschreiben und als mein eigenes geistiges Konglomerat ausgeben würde.

alles was ich weiß

ist das weg ein logarithmische kurve ist. eine spirale genau wie das häuschen von schnecke selbst ( falls die welches haben )

und deren ort wird mit r = r0 * e^(k*alpha) berechnet.

r ist 100 cm

r0 =1cm

mal überlegen .....

also als Punkt umrunden die Schnecken den Mittelpunkt unendlich oft, weil sie ja immer die Ecken eines Quadrates bleiben, das sich mitdreht und kleiner wird. Wie lang der Weg ist, komme ich nicht drauf. müsste ja einen Grenzwert für die Reihe geben. Finde aber keine Formel für die Kurve.