Cardano's Special:Symmetrische Polynome?

ad Zusatzfrage)

Bei Funktionen 4.Grades genügt die Aussage, dass zwei lokale maxima symmetrisch zur y-Achse liegen.

Bei Funktionen höheren Grades, die trotzdem nur diese beiden lokalen maxima haben, muss zusätzlich abgesichert sein, dass alle horizontalen Wendepunkte (die man ja als Verschmelzung von lok. min und max betrachten kann) ebenfalls paarweise axialsymmetrisch zur y-Achse auftreten.

Krasnojarsk, 02.09.08, 21:46

;-)

@Cardano

Du hast es nicht anders gewollt

Die Menge der natürlichen Zahlen, die genau dieser Anforderung genügen, ist leer.

Ungerade n entfallen, also wäre n = 4 die erste mögliche Zahl.

Die Funktion f mit y = f(x) = - (x - 3/4)³(x + 1/4) ist ein Gegenbeispiel.

Ab n + 6 aber gilt Folgendes:

Es lassen sich leicht Gegenbeispiele konstruieren.

dazu wähle ich zunächst eine Funktion der Form

y = f(x) = (x² - x1²)²(x² - x2²)² ...(x² - xp²)²

(o.B.d.A sei x(i) < x(i + 1) f.a. i)

Diese Funktionen haben jeweils in +/- xi eine doppelte Nullstelle.

Dort liegen lokale minima vor.

Jetzt multipliziere ich diesen Polynom mit (x - xo)(x - xo)³

(xo > xp)

Das schaffft links von - xp eine einfache, rechts von xp eine dreifache Nullstelle.

Die lokalen Extrema bleiben erhalten. Sie sind jetzt lokale maxima, die symmetrisch zur y-Achse liegen.

In xo liegt ein horizontaler Wendepunkt vor, in - xo nicht.

Der Funktionsgraph ist damit nicht mehr symmetrisch zur y-Achse.

ENDE des Eintrags vom 02.09.2008

ACHTUNG: VERÄNDERUNGEN im Text und ERGÄNZUGEN!

(Aber ich gaube, Du hast meinen Grundgedanken im Hintergrund nicht gelesen, sonst wüsstest Du, dass ich es NICHT vom Exponenten abhängig mache, sondern auch für n = 4 ein Gegenbeispiel gefunden habe, wenn meine Zusatzforderung fehlt)

Hiermit meldet sich der Wurzelgnom nun endgültig aus dem Urlaub zurück.

Eine hinreichende (aber nicht notwendige) Bedingung dafür, dass der Graph der Funktion f axialsymmetrisch zur y-Achse verläuft, ist folgende:

Eine ganz rationale Funktion vom Grad 2n hat einen zur y-Achse symmetrisch verlaufenden Graph, wenn sie n paarweise zur y-Achse symmetrisch liegende lokale maxima hat.

(Grundgedanke im Hintergrund:

f hat maximal 2n - 1 lokale extrema. Da bei in P stetigen Funktionen zwischen je zwei lokalen maxima ein lokales minimum liegen muss, hätte eine solche Funktion keine horizontalen Wendepunkte.

Anderenfalls müsste auch noch deren symmetrische Lage gefordert werden.

Von n ist die Aussage m.M. nach nicht abhgängig zu machen, da man vom 2. Grad an einen einzelnen lokalen Wendepunkt immer hineinkonstruieren kann

Beispiel: y = f(x) = (x - 3/4)³(x + 1/4))

Für n = 1, also für nach unten geöffnete quadratische Parabeln ist die Aussage trivial.

Für n = 2, also eine Funktion vierten Grades mit zwei lokalen maxima:

Sei f eine ganz rationale Funktion 4. Grades mit zwei zur y-Achse symmetrisch liegenden lokalen maxima.

Ihre Ableitung f' ist dann eine Funktion 3. Grades.

Seien [x1| f(x1)] und [x3| f(x3)] die lokalen maxima.

Dann lässt sich f ' angeben als

y' = f '(x) = a(x - x1)(x - x2)(x - x3)

Hier ist x3 = - x1, also

y' = f '(x) = a(x² - x1²)(x - x2) = a( x³ - x2x² - x1²x + x1x2)

=>

y = f(x) = a( 1/4 x^4 - x2/3 x³ - x1/2 x² + x1x2x) + k

f(x1) = a(1/4 x1^4 - x2/3 x1³ - x1/2 x1² + x1²x2) + k =

f(-x1) = a(1/4 x1^4 + x2/3 x1³ - x1/2 x1² - x1²x2) + k

=> x2 = 0

Also ist f' von der Form

y' = f'(x) = a( x² - x1²)x = a(x³ - x1²x)

y = f(x) = a( x^4/4 - x1²x²) + k

Das ist eine gerade Funktion; für alle x gilt f(x) = f(-x)

Die zweite Ableitung wird nur für negative a in x1 und x3 negativ. (Vorliegen lokaler maxima)

Damit gilt die Aussage für Funktionen vom Grad 2 und 4.

Nachgetragene ZUSATZBEMERKUNG:

(Ich erwähne den Fall "Grad 2" explizit, obwohl er trivial ist, da ich glaube, ihn später für den Beweis mit vollständiger Induktion zu benötigen.

Den Buchstaben k wollte ich dann auch für diesen beweis vorbehalten)

ENDE des EINSCHUBES

Ich behaupte mal etwas schludrig, dass sich mit Hilfe von vollständiger Induktion damit zeigen lassen müsste, dass die Aussage für alle Funktionen vom Grad 2n gilt.

(Der Graph ist achsensymmetrisch zu EINER (zur y-Achse parallelen) Achse, wenn n Hochpunkte symmetrisch zu dieser Achse sind. Sollte dies nicht die y-Achse selber sein, ließe sich der Graph durch eine Koordinatentransformation entsprechend verschieben)

@Cardano

Die Rechenfehler sehe ich mir morgen an, wenn ich ausgeschlafen habe. Halte ich für möglich, aber verzeihlich.

Aber:

Dein Gegenbeispiel ist KEIN Gegenbeispiel zu meiner Forderung.

Ich hatte (als hinreichende, aber für Deine Forderung nicht notwendige Bedingung) zusätzlich gefordert, dass die Funktion n lokale maxima haben müsse.

(Ich hatte vorher darauf hingewiesen, dass ich NUR Funktionen vom Grad 2n betrachte, also von Deiner Bezeichnung abweiche. Funktionen ungeraden Grades können nicht als gerade Funktionen in Frage kommen. Wäre aber kein Problem, diese Bezeichnung jetzt durchgehend zu ändern.)

Das ist bei Deinem Beispiel nun NICHT der Fall.

Die Funktion ist 6. Grades, hat aber nur 2, nicht drei, lokale maxima.