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Cardano's Weekend Special No5: Dreieck und Ellipse?
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks D zerlegen das Dreieck in 6 kleinere Dreiecke.
Zeige, dass die Schwerpunkte dieser kleinen Dreiecke auf einer Ellipse liegen, deren Mittelpunkt der Schwerpunkt von D ist.
Zur Erinnerung: Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Viel Spaß.
P.S.: Es wäre schön, wenn ihr euch an der Abstimmung zu
http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=At...
beteiligen würdet. Dort droht sonst "Vandalismus" zu gewinnen.
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In der Überschrift hat sich ein Fehler eingeschlichen. Natürlich ist es das Special No.6. Deshalb habe ich auch ein Problem mit einer Zerlegung in 6 Dreiecke gestellt.
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Hi Wurzelgnom,
der Ansatz ist doch schon vielversprechend. Aber wenn bei Deiner Streckung alle Seitenverhältnisse gleich bleiben, dann ist es eine zentrische Streckung und das gleichseitige Dreeick bleibt auch gleichseitig (und natürlich sind gleichseitige Dreiecke auch gleichschenklig).
Bei anderen Streckungen bleiben die Seitenverhältnisse nicht gleich.(Aber darauf kommt es vielleicht auch gar nicht an.)
Viel wichtiger sind die anderen Eigenschaften, die Du erwähnst, um die Aussage für gleichschenklige Dreiecke zu zeigen.
(Tipp: Zu welcher Klasse von Abbildungen gehören Streckungen?)
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Hi Wurzelgnom,
zunächst einmal frohe Ostern.
Das Problem hast Du (bis auf eine hübsche Formulierung) schon gelöst. Das Ganze ließe sich etwas schlanker darstellen, aber das ist nur mathematische Kosmetik.
Das Dreieck läßt sich mittels bijektiver affiner Abbildung auf ein gleichseitiges Dreieck abbilden. (hier reicht sogar eine bijektive lineare Abb.)
Und bij. affine Abbildungen überführen Ellipsen in Ellipsen. Das wars.
Viel Spass beim Ostereiersuchen!
1 Antwort
- WurzelgnomLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Ich könnte wahnsinnig werden: "Geometrische Transformationen" war mal mein Spezialthema - und jetzt ist nix mehr da. Wikipedia hilft mir auch nicht weiter.
Also: Grundidee:
Dreieck ABC mit den Seitenmittelpunkten A1, B1 und C1, dem Schwerpunkt M und den Teilmittelpunkten M1 bis M6 wird durch Scherung ф1 auf das gleichschenklige Dreieck ABC' mit den Mittelpunkten A1', B1' und C1 abgebildet.
(AC1 = BC1)
Dreieck ABC' wird durch Streckung ф2 auf das gleichseitige Dreieck ABC'' mit den Seitenmittelpunkten A1'', B1'' und C1 und den Teilmittelpunkten M1'' bis M6'' abgebildet.
In Dreieck ABC'' gilt die Aussage trivialerweise. M1'' bis M6'' liegen auf einem Kreis um M''.
So, und nun geht es darum, welche Eigenschaften
bei ф2^(-1) und ф2^(-1) erhalten bleiben.
@Kleine - aber notwendige - Ergänzung:
Streckung und Scherung sind lineare Transformationen, also ist ihre Nacheinanderausführung ф = ф1 * ф2 auch linear.
Für lineare Transformationen ф , alle Strecken XY und deren Mittelpunkte M = M(XY) aber gilt:
ф (M(XY)) = M(ф(XY))
Beides sind affine Transformationen, aber reicht das????
Bei ф2^(-1) geht der Kreis in eine Ellipse über (der Streckungsfaktor k^(-1) gilt für die eine Achse, die dann r/k wird, während die andere Achse r bleibt.
Was passiert mit der Ellipse bei ф1^(-1)????
@weitere Ergänzung:
Also, wenn bei affinen Transformationen Ellipsen wieder in Ellipsen übergehen, dann bin ich jetzt tatsächlich fertig.
Eine Affenschande, dass ich das nicht mehr mit Sicherheit wusste und (und das wurmt mich am meisten) jetzt auch nicht mehr herleiten konnte.
- quälende Gedanken in einer Osternacht - in der ich nun nicht zum Gottesdienst gegangen bin......
(was aber nicht an der eierförmigen Ellipse gelegen hat sondern an meiner leichten Müdigkeit und dem unangenehmen Wetter und dem weiten Weg über den Jennissej bis zur Orthodoxen Kirche.
Gleich geht die Sonne auf und nun müsste ich wenigstens Osterwasser holen gehen.)
@Cardano
Hier werden Ostereier nicht versteckt, sondern wunderschön verziert und dann gegenseitig verschenkt.
Also auch Dir ein freundliches "Христос воскрес!"
