Cardano's Weekend Special No 8: Lotterie am Grillstand?

Question

Auf einem Frühlingsfest werden an einem Stand Fleischspieße in den Längen 10cm, 20cm,..., bis 80 cm gegrillt. Das besondere Angebot besteht darin aus einer verdeckten Box mit 8 leeren Spießen der verschiedenen Längen 3 zu ziehen. Wenn sich mit diesen Spießen ein Dreieck legen läßt, dann gibt es Fleischspieße dieser Längen gratis, wenn nicht, dann kosten sie das Doppelte. Wie groß ist die Chance auf kostenlose Spieße?

Zusatz: Kann jemand eine Formel für n Spieße der Längen bis n*10cm finden?

Stefan E · Accepted Answer

Ich gehe mal davon aus, dass sich etwa mit Spießen von 30, 50 und 80 cm kein gültiges Dreieck legen lässt, weil keine entarteten Dreiecke zugelassen werden.

Insgesamt gibt es 8 über 3, das sind 56 verschiedene Möglichkeiten, 3 Spieße zu ziehen. 

Ich betrachte dabei immer die kleinste der gezogenen Längen und zähle dafür die ungünstigen Möglichkeiten.

Wenn ein 10cm Spieß gezogen wird sind wohl 6+5+4+3+2+1 ungünstige Möglichkeiten, denn wenn die zweitniedrigste Länge die 20 ist, dann gibt es von der 30 bis zur 80, 6 Möglichkeiten, bei 30 cm 5, bei 40 cm 4 und schließlich bei 70 cm als zweitniedrigste Länge noch eine Möglichkeit, nämlich die 80 cm. Bei einem 20 cm Spieß, gibt es entsprechend 4+3+2+1 ungünstige Möglichkeiten, bei einem 30 cm Spieß – wobei ich nochmals betone, dass ich immer den kürzesten der gezogenen Spieße betrachte - 2+1 ungünstige Ereignisse und ab 40 cm gibt es nur mehr günstige Fälle, da 40cm+x > 80 cm, wenn x>40cm ist.

Insgesamt ergeben sich die folgenden ungünstigen Fälle:

 3  2i
∑  ∑ j = 21 + 10 + 3 = 34
i=1 j=1
Damit gibt es 56-34= 22 günstige Fälle. Die Chance auf einen kostenlosen Spieß ist also 22/56 ≈ 39 %

Für n Spieße errechen sich die ungünstigen  Fälle u aus folgender Formel:

m  k
∑  ∑ j  
i=1 j=1

wobei für gerades n:  m=n/2-1 und k = 2i
und für ungerades n:  m=(n+1)/2 und k = 2i-1

Die günstigen Fälle sind dann (n über 3) – u, weil es insgesamt n über 3 Möglichkeiten gibt.

@cardano: Deine Formel ist richtig und ergibt sich durch einfache Umformung aus meinen Ausführungen. Man benutzt dazu lediglich die Summenformel für aufeinanderfolgende ganze Zahlen bzw. ganzzahlige Quadrate und dass n über 3 = n!/[(n-3)! 3!]

Und der allgemeinen Ansatz ergibt sich für n genauso wie für 8 Fleischspieße.

Für mich ist damit die Aufgabe inklusive Zusatz gelöst. Schönes Wochenende noch!

@Wurzelgnom: oh sorry, wenn ich das geahnt hätte, dann hätte ich dir ein paar Spieße übriggelassen oder, da du dafür auch keine Verwendung hast, mich auf n<39495 beschränkt oder so ...

Wurzelgnom · Answer

@Stefan und Cardano
Wer zu spÃ¤t kommt, ...
.... dem bleibt nur noch, Euch auch 'n schÃ¶nes Pfingstwochenende zu wÃ¼nschen.
Ich kann nicht grillen - bei uns ist Regen angesagt
:-(

Cardano's Weekend Special No 8: Lotterie am Grillstand?

2 Antworten