Cardanos's Weekend Special No 13: Untiefen der Proportionslehre ?

Trigonometrische Alternativ-Lösung (06.10.2008)

Zu zeigen:

Das Produkt der Maßzahlen beider Strecken ist 2 r²

1. Fall (Der Winkel ist kleiner als 45°)

(Ich nenne den Winkel jetzt kurz a statt alpha)

cos a = r / [AF] => [AF] = r / cos a

Anwendung des Sinussatzes im Dreieck AMC

sin(п - 2a) / sin a = [AC] / r =>

[AC] = (r sin 2a) / sin a =>

[AC] = 2rsin a cos a / sin a = 2r cos a

=> [AF][AC] =( r /cos a ) * 2r cos a= 2 r²

2. Fall (Der Winkel ist größer als 45° aber kleiner als 90°)

cos a = r / [AB] => [AB] = r / cos a

Sinussatz im Dreieck AME

sin (п - 2a) / sin a = [AE] / r =>

[AE] = r sin 2a / sin a = 2r sin a cos a / sin a = 2 r cos a

=>

[AB][AE] = ( r / cos a) ( 2r cos a) = 2 r²

Aus [AF][AC] = [AB][AE] folgt unmittelbar

[AB] : [AC] = [AF] : [AE]

q.e.d.

Es folgen die Überlegungen vom Donnerstag, 02.10. und spätere Ergänzungen:

Hilfssatz:

Sei K(M;r) ein Kreis mit r = AM und AD = d als Durchmesser.

m - die Mittelsenkrechte auf AD

g - eine Gerade durch A, die k in Sk und m in Sm schneidet.

Behauptung:

Das geometrische Mittel aus [ASk] und [ASm] beträgt r*Wurzel(2)

für alle <(d;g) mit

0° </= <(d;g) < 90°

Für 0° und 45° ist die Aussage trivial.

Für <(d;g) > 45° sei Sk=E, Sm = B

Es genügt zu zeigen, dass

[AE]² * [AB]² = 4 r^4

[AE]² = (r - x)² + r² - x² = 2r² - 2rx = 2r(r - x)

[AB]² = r² + yB²

mit yB² / r² = (r² - x²)/(r - x)² =>

yB² = r²(r + x)/(r - x) =>

[AB]² = r² + r²(r + x)/(r - x) = r² (r - x + r + x)/(r - x) = 2r³/(r - x)

=> [AE]²*[AB]² = 2r(r - x) * 2r³/ r - x) = 4 r^4

Analog für

0 < < (d;g) < 45°

Sm = F; Sk = C

Es genügt zu zeigen, dass

[AC]² * [AF]² = 4r^4

[AC]² = (+ x)² + r² - x² = 2r(r + x)

[AF]² = r² + yF² mit

yF² / r² = (r² - x²)/(r + x)² =>

y² = r²(r - x)/(r + x) =>

[AF]² = r² + r²(r - x)/(r + x) = r²(r + x + r - x) / (r + x) = 2 r³ /(r + x)

=>

[AC]² * [AF]² = 2r(r + x) * 2r³ /(r + x) = 4 r^4

q.e.d.

Zu zeigen war:

[AB] : [AC] = [AF] : [AE]

<=>

[AB]*[AE] = [AC]*[AF]

Das gilt nach dem Hilfssatz, da beide Produkte gleich dem Quadrat des geometrischen Mittels sind, bzw.

[AB]² * [AE]² = [AC]² * [AF]²

q.e.d.

Fußnote zur Erklärung der benutzten Symbolik und mathematischer Gesetzmäigkeiten (Nachtrag vom 05.10.08)

Alle y-Werte bezeichnen die Länge der Lote auf den Durchmesser AD

(Der Punkt, von dem aus das Lot gefällt wird, steht jeweils als Index dahinter)

x ist jeweils der Abstand der Lotfußpunkte L zu M

Die Dreiecke ALeE und AMB sind ähnlich.

Ihre Katheten sind: r - x und yE bzw. r und yB

Die Dreiecke AMF und ALcC sind ähnlich.

Ihre Katheten sind r und yF bzw. r + x und yC

Die Dreiecke LeME und MLcC sind rechtwinklig mit der Hypotenuse r und jeweils einer Kathete x

(Hier gilt der Lehrsatz des Pythagoras)

Koordinantensystem einführen:

Mittelpunkt des Kreis = ( 0 | 0 ) mit Radius r.

Der Durchmesser d auf die X-Achse legen.

Die Mittelsenktechte ist dann die Y-Achse.

Der Punkt A hat die Koordinaten ( x | y ) = ( r | 0 )

Die erste Gerade mit den Punkten A - E - B wird dargestellt durch

y = mx + k

m ist ein frei wählbarer Parameter, entsprechend dem Winkelbereich

k ergibt sich aus der Bedingung, dass A = ( r | 0 ) auf der Geraden liegt

0 = mr + k

k = -mr

Also ist die Geradengleichung

y = mx - mr

Der Punkt B ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse

x = 0

y = m0 - mr

y = -mr

Der Punkt B ist ( x | y ) = ( 0 | -mr )

Der Punkt E ist der Schnittpunkt der Geradenk mit dem Kreis

x² + y² = r²

und y = mx - mr

x² + (mx - mr)² = r²

x² + m² (x - r)² = r²

x² - r² + m² (x - r)² = 0

( x - r )( x + r ) + m² (x - r)² = 0

Eine Lösung x = r, das ist der Punkt A. Die andere Lösung

( x + r ) + m² (x - r) = 0

x + r + m²x - m²r = 0

x ( 1 + m² ) + r ( 1 - m² ) = 0

x ( 1 + m² ) = r ( m² - 1 )

x = r ( m² - 1 ) / ( 1 + m² )

Das ist die x Koordinate von Punkt E.

Die y Koordinate

y = mx - mr

y = mr ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) - mr

y = mr [ ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) - 1 ]

y = mr ( m² - 1 - 1 - m² ) / ( 1 + m² )

y = mr ( -2 ) / ( 1 + m² )

y = -2mr / ( 1 + m² )

Der Punkt F ist (x | y) = ( r ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) | -2mr / ( 1 + m² ) )

Die Länge der Strecke AB kurz mit AB bezeichnet.

Die Länge der Strecke ist der Abstand der Punkte A - B.

A = ( r | 0 )

B = ( 0 | -mr )

AB² = ( r - 0 )² + ( 0 - -mr )²

AB² = r² + m²r²

AB² = r² ( 1 + m² )

AB = r Wurzel( 1 + m² )

Die Länge der Strecke AE ist der Abstand der Punkte A - E

A = ( r | 0 )

E = ( r ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) | -2mr / ( 1 + m² ) )

AE² = ( r - r ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) )² + ( 0 - -2mr / ( 1 + m² ) )²

AE² = r² [ ( 1 - ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) )² + ( 2m / ( 1 + m² ) )² ]

AE² = [ r²/( 1 + m² )² ] * [ ( ( 1 + m² ) - ( m² - 1 ) )² + ( 2m )² ]

AE² = [ r²/( 1 + m² )² ] * [ ( 1 + m² - m² + 1 ) )² + ( 2m )² ]

AE² = [ r²/( 1 + m² )² ] * [ 2² + ( 2m )² ]

AE² = r² [ 2² + ( 2m )² ] / ( 1 + m² )²

AE² = 2² r² ( 1 + m² ) / ( 1 + m² )²

AE = 2 r Wurzel( 1 + m² ) / ( 1 + m² )

AE = 2 r / Wurzel( 1 + m² )

Die andere Gerade mit den Punkten A - F - C wird dargestellt durch die Geradengleichung

y = nx + k

Die Rechnung ist analog nur der Buchstabe m ist gegen n einzutauschen.

Der Abstand AF ergibt sich analog zum Abstand AB

AF = r Wurzel( 1 + n² )

Der Abstand AC ergibt sich analog zum Abstand AE

AC = 2 r / Wurzel( 1 + n² )

Das Verhältnis der Abstände

AB : AC

= r Wurzel( 1 + m² ) : ( 2 r / Wurzel( 1 + n² ) )

= Wurzel( 1 + m² ) : ( 2 / Wurzel( 1 + n² ) )

= Wurzel( 1 + m² ) Wurzel( 1 + n² ) / 2

AF : AE

= r Wurzel( 1 + n² ) : ( 2 r / Wurzel( 1 + m² ) )

= Wurzel( 1 + n² ) : ( 2 / Wurzel( 1 + m² ) )

= Wurzel( 1 + n² ) Wurzel( 1 + m² ) / 2

= Wurzel( 1 + m² ) Wurzel( 1 + n² ) / 2

Die beiden Verhältnisse sind gleich.