Potenztürme reloaded! Wann konvergiert x^x^x^x...?

Hi Cardano,

it's a nice problem although Euler solved it already as you said. Sorry to anyone else, but I can't do it in German. It was hard enough to get Cardano's German text.

I followed the given link and I'm going to use the same notation.

Hint (i) :

The dervative of f(t)=t^(1/t)

d/dt [t^(1/t)] = d/dt [e^(ln t / t)] = (1-ln t)/t² e^(ln t / t)]

is always positive, thus t^(1/t) is increasing to f(e)=e^(1/e)

For t->0 lim e^(ln t / t) = 0

This proofs the hint.

The infinite exponential tetration converges, if 1/e^e < x < e^(1/e) that is 1/e < t < e and x = t^(1/t)

Assume there is a limit, then

t = lim a_(n+1) = x^(lim a_n) = x^t = e^(t * ln x)

<=> t = e^(t * ln x)

<=> ln t = t * ln x

<=> ln x = (1/t)ln t = ln( t^(1/t) )

<=> x = t^(1/t)

Now show that (a_n) converges

x = t^(1/t) and 1/e < t < e

Case 1: t=1

The sequence (a_n) is constant (= 1)

Case 2: 1<t<e

Proof ( a_n ) is increasing and bounded from above by t

Prop1: a_n <t , n>0

(Proof by induction)

a_1= t^(1/t)< t da 1/t < 1

a_(n+1) = (t^(1/t))^a_n < (t^(1/t))^t = t

Prop 2: ( a_n ) is increasing

f(t) = (ln s) / s is increasing for 0<s<e, since the derivation of f is positive.

Hence (ln s) / s < ln t / t = ln (t^(1/t) for s < t

thus for arbitrary n of |N:

ln (a_n) / a_n < ln(t^(1/t)) (see Prop 1: a_n < t )

=> a_n ln(t^(1/t)) > ln a_n

=> e^[a_n ln(t^(1/t)) ] > a_n

=> (t^(1/t))^a_n > a_n

=> a_(n+1) > a_n

Case 3: 1/e < t < 1

Consider the subsequences ( b_n) and (c_n) defined by b_n := a_2n und c_n := a_2n+1

Set s:=1/t , then t^(1/t) = (1/s)^s=s^(-s) and 1<s<=e.

Hence similar to the above:

(b_n) is decreasing and b_n>t

and

(c_n) is increasing and c_n < t

Note:

For 0<=x<=1/e^e

there are two subsequential limits. Regarded as a function of x these subsequential limits converge to 0 and 1 (the cluster points for x=0 ) as x tends to 0.

Set

f(x):=lim sup a_n(x)

g(x):=lim inf a_n(x)

then

lim f(x) = 1

lim g(x) = 0

'limits for x ->0'

Hmm... Habe die Frage gerade erst gesehen, habe zugegeben lange nicht mehr bei den Wissenschaften reingeschaut.

Zu deiner Anleitung:

Du hast x und t doch schon so definiert, dass es das t zum x gibt. Bisschen Umformungsspielerei bringt mich da irgendwie nicht weiter, es wird zwar deutlicher, dass es stimmt, aber wie soll man es dadurch zeigen, hmmm...

ln(x)/ln(t) = 1/t bzw. ln(t)/ln(x) = t

Logx(t) = t also x^t = t

Du hättest auch 0 < x <= y^(1/y) und t mit 0 < x <= y definieren können, da käme dasselbe in grün raus. An der Grenze passt es ja genau und dadrunter...

Für positive x gilt x^(1/x) <= x, da t also sowieso im Rahmen zwischen 0 und y bleibt, gibt es auch das jeweilige t zum x.

Blöde Erklärung jetzt...

:(

Evt. sollte man da mit Fallunterscheidungen rangehen, x < 1 und x >= 1 ? Denn t verhält sich ja entsprechend.

was soll das werden?

wenn x^x^x^x^x^x^x^x = ((((((x^x)^x)^x)^x)^x)^x)^x ist.

natürlich sind die beide behauptungen richtig

wenn aber

x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))) ist dann hast du recht.

denk nach.

_____________

additional:

du hast ja selber deine antwort gegeben.

die klammern sollte man nicht weglassen

und hast du bei diese aufgabe irgendwo klammern gesehen??

ich nicht.

und wie willst du dir das recht eineignen zu sagen die aufgabe soll so interpretiert werden wie DU willst?

ich denke dir geht nur um das "recht haben"

ich mache mir nichts draus viel spass ;)