Wie kann man mathematisch Beweisen, dass bei Beschränkten Folgen kein Wert über die Grenze geht.?

Beste Antwort

Streiten über Mathematik? : (
Ergänzen wir uns doch lieber.
Definition der Beschränktheit: Eine Folge a_n ist beschränkt, wenn es eine positive Zahl m gibt, so dass gilt |a_n|<m.

Wenn wir eine Folge haben und wir wissen wollen, ob sie beschränkt ist, so benötigen wir einen Beweis dafür, dass kein Element über die Grenze geht. Dazu ist der Beweis der vollständigen Induktion meist sehr hilfreich
Beispiel
a(n):=(1/n²)-(1/n)=(1-n)/n²

Behauptung: m=1 ist obere Schranke
Beweis durch Induktion über n:
n=1: (1-1)/1² = 0 < m=1, ok
Annahme (1-n)/n² < 1 gilt für fixes n
Induktion: (1-(n+1))/(n+1)² = -n/(n²+2n+1) <= (-n+1)/(n²+2n+1) = (1-n)/(n²+2n+1) <= (1-n)/n², da 2n+1>0 und (1-n)/n² < 1, q.e.d...Mehr anzeigen

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Kligoth hat recht, dass das nicht überschreiten der Schranke gerade die Definition der Beschränktheit von Folgen ist. Aber wie zeigt man für eine konkrete Folge, dass sie beschränkt ist?
Der Einfachheit betrachte ich nur nach oben beschränkte Folgen:

Trival ist es, wenn es sich um eine monoton fallende Folge handelt. Der Startwert ist dann schon eine Schranke.

Wenn Du eine Folge b_n findest, die für jedes a_n<=b_n ist, ist die Folge a_n beschränkt. Z.B. a_n=-1^n<=1 also nach oben beschränkt uns 1 ist eine Schranke.

Oder du kannst die Folge in Teilfolgen zerlegen, die beschränkt sind. Dann ist auch die gesammte Folge beschränkt. Z.B für n>1
a_n=(n²+n)/(n²-1)<=(n²+n)/n²=1+1/n
ist beschränkt weil 1 beschränkt und 1/n streng monoton fallend.

Welche Methode zu Ziel führt? Üben, üben, üben....

@jayman. Du liegst mal wieder falsch. 1. Gegenbeispiel. Die Folge a_n=-1^n ist beschränkt . Obere und und unter Schranke sind 1, bzw. -1. Dir Folge hat keinen Grenzwert, weil für ungerade n Grenzwert -1, für gerade n 1 wäre. Also führt nicht jede beliebige Wahl der n zur gleichen Grenze.
2. Gegenbeispiel. Die Folge a_n=1/(1000-n) hat einen Grenzwert 0, ist aber nicht beschränkt, weil für n=1000 nicht definiert!
Noch ein kleine Klarstellung. Eine Folge a_n heißt dann nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt,sodass für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt S>a_n. Nach unten beschränkt die Gleiche Definition, nur dass aus dem ">" ein "<" wird.
Und noch die Definition des Grenzwertes von Folgen (nicht von Funktionen). Eine Folge a_n ist dann konvergent, wenn es für jede Wahl einer Teilfolge b_n für eine beliebige Zahl Epsilon ein M gibt, sodass für alle n>M eine Zahl g gibt mit abs(b_n-g)<Epsilon. g heisst dann Grenzwert der Folge a_n....Mehr anzeigen

lass die folge gegen unendlich streben (mit hilfe des limes) wenn dann ein wert rauskommt, ist die folge beschränkt, andernfalls kommt unendlich raus ...

Das ist aber nicht der korrekte Mathematische Beweis dafür.

Es gibt ein, man muss sich dafür folgende Vorstellung machen ... das macht man irgendwie mit ein "schlauch" der Radius d den man um den Wert y (an der stelle x) legt. wenn es eine Radius d gibt, die alle folgendenen Punkte in diesen "schlauch" erfasst ist die Folge beschränkt ...

das kann man irgenwie mathematisch ausdrücken, frag mich aber bitte nicht wie ... ;)

@KN: Na, so falsch liege ich nicht, du sagst es ja selbst:
"dass das nicht überschreiten der Schranke gerade die Definition der Beschränktheit von Folgen ist."

Der "schlauch" ist diese schranke, wenn du mal darüber nachdenkst. Und deine Beispiele wiedersprechen dem nicht.
Zu den Beispiel 1:
(-1)^n ist beschrenkt, richtig, es alterniert zwischen 1 und -1 ... wenn ich ein schlauch in 0 mit den Radius 1 (nach oben und unten) ranlege, liegen ALLE werte in diesen Schlauch.

und wenn man halt 1+(-1)^n nimmt legt man den gleichen schluch nicht um 0 sondern um 1, parallel zu x-achse.

das beispiel 2 wo der eien Wert nicht definiert ist, ist clever, aber ich gehe mal davon aus das man die Definierten Werte bertachtet. Und wenn man von diesen wert absieht, passt diese Definition ebenfalls ...

Pures stupides auswenig lernen von definitionen (hört sich gut von dir vorgebetet an) hilft halt nicht, wenn man es nicht versteht ... :P...Mehr anzeigen

Beweisen? Ich dachte eigentlich, das eine wäre die Definition des Anderen(?)...Mehr anzeigen