Eine Quersummen-Knobelei ?

Hallo zusammen!

Jetzt muss ich mich doch noch einschalten.

Natürlich gibt es weitere Zahlen außer den Zehnerpotenzen selbst.

-edit: (siehe unten Satz1 und Satz2)--

Zum Beispiel: n=91

Das Produkt

91 * ( Summe[k=0 bis n-1] 10^k)

hat 93 Stellen, die alle mit 1 belegt sind außer der 2ten und der vorletzten.

Also ist die Quersumme: 93-2=91

Rechnerisch:

91 * ( Summe[k=0 bis 90] 10^k)

= (90 +1)* ( Summe[k=0 bis 90] 10^k)

= 9 * ( Summe[k=1 bis 91] 10^k) + ( Summe[k=0 bis 90] 10^k)

= 9*10^91 + 9 * ( Summe[k=1 bis 90] 10^k) + ( Summe[k=1 bis 90] 10^k) +1

= 1 + 10 * ( Summe[k=1 bis 90] 10^k) + 9*10^91

= 1 + ( Summe[k=2 bis 90] 10^k) +10 *(10^91)

= 1 + ( Summe[k=2 bis 90] 10^k) +10^92

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Weitere Beispiele liefern 901, 9001,... usw.

oder auch 9091 etc.

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@Wurzelgnom:

Das Produkt kann durchaus eine Stelle mehr haben als n*("Stellenzahl von n" -1). (siehe obiges Beispiel)

@rauchers

Deine Betrachtung zum 2ten Fall enthält einen Denkfehler:

a+1 kann durchaus auch zu einem Übertrag führen!

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Anleitung zum Auffinden weiterer Lösungen:

Ist q die Quersumme von n und Q der ganzzahlige Anteil von q/10 und

endet q+Q mit einer 1, dann besteht die möglichkeit einer Lösung. (*)

(Für das Beispiel n=901: q=10; Q=1; q+Q = 11 endet mit 1)

Für weitere Bedingungen wandelt man n in n = a[m]*10^m+ a[m-1]*10^(m-1) + .. + a[1]*10 + a{0] um und überführt das Produkt via Disributivgesetz in eine Summe.

Jetzt werden die Summanden nach ihren 10er Potenzen sortiert.

Es ergibt sich ein Mittelteil aus lauter Einsen und paar Terme für die größten bzw. kleinsten Zehnerpotenzen.

Jetzt gilt es die Ziffern für n unter Beachtung von (*) geschickt so zu wählen, dass die Summe der Koeffizienten der restlichen 10erPotenzen mit den 1en aus dem Mittelteil n ergibt.

Beisp: 91,901,9001,...

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Weitere Lösungen können mit der Bedingung q+Q=20 gefunden werden.

z.B. 991, 9091, 90091,...

oder 9901, 99001, ...

Damit sind bereits 3 unendliche Folgen von Lösungen angegeben.

Dies sind aber noch lange nicht alle Lösungen:

Ist n eine Lösung, dann ist auch n * 10^k für jedes natürliche k eine weitere Lösung.

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Ergänzung:

Die beiden folgenden Sätze liefern eine Vielzahl von Lösungen. Ob es dazu noch weitere andersartige Lösungen gibt habe ich nicht untersucht.

Satz 1:

Jede Zahl n mit endlich vielen Neunen (Anzahl=J) gefolgt von einer Eins ist eine Lösung, dh. Das Produkt von n mit der Zahl m, die aus n Einsen besteht, hat die Quersumme n.

In Formeln

Ist n = 1 + 9∑[i=1 bis J] 10^i und m(n):=∑[k=0 bis n-1] 10^k , dann gilt:

(*) Quersumme( n*m(n) ) = n

Satz 2:

Gilt (*) für n, dann erfüllt jede Zahl, die aus n durch hinzufügen einer beliebigen endlichen Anzahl von Nullen an jeder beliebigen Stelle (auch am Ende) ensteht, auch die Bedingung (*)

Zum Beweis von Satz1:

Ich will den Beweis hier nicht aufschreiben, da die auftretenden Doppelsummen und deren Umformung hier lästig einzugeben sind. Der Beweis läuft aber ohne allzu große Tricks kanonisch durch.

Nur so viel:

n*m(n) = (1 + 9∑[i=1 bis J] 10^i )*(∑[k=0 bis n-1] 10^k )

= 1 + ( ∑[k=J+1 bis n-1] 10^k ) + ( ∑[k=n+1 bis J+n] 10^k )

Das sind 1 + (n-1)-(J+1)+1 + (J+n)-(n+1) +1 = n viele Einsen.

Die J vielen Nullen stehen an den Stellen für 10² bis 10^J und 10^n.

Da n*m(n) somit n+J stellen hat, folgt Quersumme( n*m(n) ) = n.

(Ende der Beweisskizze)

Der Beweis zu Satz 2 ist trivial.

@hsc:

Den Satz 2 sehe ich als Korrolar zu Satz 1.

Beweisidee:

Jede Umsortierung der Nullen liefert die gleiche Quersumme, auch für das Produkt. Also lassen sich alle Nullen ans Ende stellen und aus Satz 1 folgt mit den zusätzlichen Nullen ceteris paribus die Behauptung.

Zum Beweis der Unmöglichkeit weiterer Lösungen neben diesen und den Zehnerpotenzen:

Den ausführlich aufzuschreiben fehlt mir gerade die Zeit. Er könnte indirekt geführt werden. Die höchsten Zehnerpotenzen liefern dann die kritischen Stellen, die den Widerspruch lieferen. Aber das ist viel Fuddelkram.

gesuchte zahl "ab" , 10a+b

fall 1

es gibt keine übertragen

dann

......b... b... b... b........b... b (10a+b)mal

a... a... a... a... a........a .......(10a+b) mal

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a a+b a+b ...............a+b ..b

quersumme = (10a+b)*(a+b) und das ist grosser oder gleich a und grosser gleich b

um gleichheit zu schaffen , muss entweder a=1 und b=0 sein

oder a=0 und b=1

fall 2)

es gibt übertrag

dann gilt a+b=10

.........b...... b...........b...b... b (10a+b)mal

a...... a...... a...........a...a .......(10a+b) mal

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a+1...1.......1...........1...0....b (10a+b+1) stellen

davon sind 1 mal 0

und einmal a+1

einmal b

und 10a+b -2 mal 1

summe= 11a +2b -1

soll gleich sein mit 10a+b

11a+2b-1 = 10a+b

a+b=1

das ist aber nicht möglich weil a+b=10

also keine weitere ausser 1, 10 ,100....

Bei der Aufwärmfrage stimme ich swissnick zu.

Das Produkt muss 2008 + 3 = 2011 Stellen haben.

Davon sind die letzten drei Achten. Dann folgt eine Null.

Die vordersten zwei Ziffern sind Zweien, dann folgt eine Drei.

Das sind sieben Ziffern, deren Summe 31 ergibt.

Es bleiben noch 2004 Stellen, die durchweg Einsen sind, also ist die Quersumme:

31 + 2004 = 1035

@Cardano

Ich hab's (aus mehreren Gründen) geahnt,

eigentlich immer nur darauf gewartet, dass Du Dich hier auch zu Wort meldest.

Na, dann kann ich meine bisherigen Überlegungen ja erst mal löschen und morgen noch mal neu anfangen.

=(

Von meinen Überlegungen mit der Anzahl der Stellen bleibt natürlich nun mit Cardanoscher Logik:

Die erste Ziffer muss 9 sein, denn nur so tritt der Fall ein, den ich außen vor gelassen hatte:

Beim Übertrag erhalten wir eine Stelle mehr, aber die Quersumme wächst nur um 1, weil die zweite Ziffer 0 ist.

1. Antwort: 2035

2. Antwort: kann mir nicht vorstellen, dass es noch andere gibt