ein fenster hat eine fläche von 3,08 m² . dieses fenster besteht aus einem rechteck und einem halbkreis. die gesamthöhe des fensters beträgt 2,20m berechen die breite und die höhe des rechteckigen teils des fensters!
so, ich komm da einfach nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich den radius vom halbkreis rasubekomme? , hab ja nur höhe und flächeninhalt. schon mit kreisbogen versucht usw. nix geholfen
bitte hilfe , danke!
2010-05-06T15:28:13Z
mh ja aber ganz raff ich dasnoch net, woher bekomm ich denn r? ich brauch auf jedenfall doch einen radius, ja und das A(b) ist flächen inhalt für was? das ganze fenster?
kannst du mir denn niocht mal die gleichung aufschreiben? , möchte die dann mal nachvollziehen,. wäre toll.danke
Zac Z2010-05-06T14:44:33Z
Beste Antwort
Wenn du dir das Fenster skizzierst, siehst du, dass der Durchmesser des Halbkreises die Breite des Fensters ist. Zumindest stelle ich mir das Fenster so vor. Du kannst also eine Gleichung in Abhängigkeit der Fensterbreite aufstellen.
A(b) = AR(b) + AH(b) mit Fläche Rechteck AR und Fläche Halbkreis AH; beide in Abhängigkeit von Fensterbreite b.
Ich könnte dir jetzt die Flächengleichungen komplett hinschreiben und b ausrechnen, aber versuche es doch einmal selbst, das hilft dir mehr. Wenn du nicht weiterkommst, kannst du deine Frage ja ergänzen, dann schauen wir weiter, OK? :-)
Gruß
Nachtrag: Irgendwie habe ich den Eindruck, dass du die Aufgabe wirklich verstehen willst und nicht nur deine Hausaufgaben delegieren willst, deshalb helfe ich -nett wie ich bin- noch etwas weiter! :-) Thomas K, der seine Antwort fast zeitgleich mit mir geschrieben hat, hat dir ja eigentlich schon viele ergänzende Infos gegeben, aber gehen wir die Sache der Reihe nach durch:
Wir haben mit dem eine zusammengesetzte Fläche, ein Rechteck und obendran ein Halbkreis. Die Gesamtfläche (die Fläche wird üblicherweise mit einem A für Areal abgekürzt) ergibt sich als Summe dieser beiden Teilflächen: A = A1 + A2
Da in der Aufgabenstellung nach der Breite und der Höhe des rechteckigen Teils gefragt ist, und sich die Höhe aus Radius / Durchmesser und Gesamthöhe ableitet (die Breite also die "einfachere" der beiden Variablen ist), ist es mMn sinnvoll die Gesamtfläche in Abhängigkeit von der Breite zu errechnen. Mit anderen Worten, die Fläche ist eine Funktion der Breite, deshalb die Schreibweise A(b). Soviel zu meinen Abkürzungen. :-)
Nun zu den Teilflächen:
1. Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich am einfachsten durch Höhe mal Breite. Ich denke (hoffe!), so weit wärst du auch gekommen. Es gilt also AR(b) = b * h
Das h ist aber nicht 2,20m; denn das ist die Gesamthöhe. Darauf kommen wir gleich zurück.
2. Die Fläche eines Kreises ist r² * π. Das r steht für den Radius; der Durchmesser eines Kreises ist der doppelte Radius. Aus deinen Fragen bekomme ich den Eindruck, dass dir das nicht so ganz klar war, obwohl das eigentlich etwas ganz Grundlegendes ist.
Wenn das Fenster nun so aussieht, wie ich mir das vorstelle, dann ist der Durchmesser des Halbkreises die Breite des Rechtecks. (Eigentlich kann es nur so sein, sonst wäre die Aufgabe ohne Zusatzinfo nicht lösbar.) Anders ausgedrückt, der Radius ist die halbe Breite: r = b/2
Ein Kreis hätte die Fläche: r² * π bzw. (b/2)² * π = b²/4 * π Hier haben wir ja einen Halbkreis, also ist die Fläche nur halb so groß, keine Überraschung: AH(b) = b²/8 * π Kannst du mir soweit folgen?
Wir können die Gesamtfläche also so ausdrücken: A(b) = (b * h) + (b²/8 * π)
Jetzt zur Höhe h: Wenn du dir die Skizze (die du hoffentlich gemacht hast; wenn nicht, dann aber flott) anschaust, solltest du sehen, dass sich die Gesamthöhe H aus der Rechteckshöhe zuzüglich des Radius' des Halbkreises ergibt. (Diese Info hat Thomas K ja auch schon verraten.) Es gilt: H = h + r, bzw. h = H - r
Dass r = b/2 gilt, haben wir weiter oben schon ermittelt, folglich lässt sich h so umschreiben: h = H - b/2
Das können wir jetzt in die Flächenformel einsetzen: A(b) = (b * (H - b/2)) + (b²/8 * π) = (b * H - b²/2) + (b²/8 * π)
Es empfiehlt sich die b² zusammenzufassen: A(b) = (π-4)/8 * b² + (b * H)
Jetzt brauchst du nur noch die gegebenen Werte für die Gesamthöhe (2,2 m) und die Gesamtfläche (3,08 m²) einzusetzen und du hast eine gewöhnliche quadratische Gleichung. Für die ermittelst du nun die Lösungen für b.
Du bekommst zwei positive Lösungen. Lass dich davon aber erst einmal nicht irritieren. Wenn du nämlich im nächsten Schritt die Höhe des Rechtecks ermittelst (den Zusammenhang haben wir ja weiter oben schon hergeleitet), dann siehst du, dass du für ein bestimmtest b einen negativen Wert für h bekommst. Dieses Wertepaar, obwohl mathematisch eine korrekte Lösung, ist in der Praxis natürlich unbrauchbar, da Handwerker ungern Fenster mit negativen Seitenlängen einbauen! :-p
Es bleibt ein sinnvolles Wertepaar übrig, das die in der Angabe gestellten Bedingungen erfüllt. Ich will dir das Lösungspaar nicht auch noch hinschreiben (ein bisschen was sollst du ja auch noch selber machen), nur soviel: das Rechteck ist fast quadratisch; es ist weniger als 5% breiter als es hoch ist.
r²*pi/2 ist die Fläche vom Halbkreis. Man kann den Durchmesser als Breite des Rechteckes sehen: Fläche ist dann gleich: 2r*h Weil wir ja h ja locker ausrechnen können (Gesamthöhe-r) ergibt das die Gleichung: Ne, da musst du selbst drauf kommen! ;)