Wendetangente.....?

Question

Hey,
ich bereite mich derzeit auf mein Matheabi (ist nächste Woche^^) vor und bin mal wieder auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich nicht so recht weiß wie ich vorgehen soll.
Gegeben habe ich die Funktion f(x)=3(2/3x^3-x^2-3/2x+3).
Diese habe ich schon vereinfacht auf f(x)=2x^3-3x^2-9/2x+9.
Der Graph dieser Fkt. heißt Gf.
Die Nullstellen und die Extrema habe ich auch bereits berechnet.
Aber mit dieser Aufgabe komme ich nicht klar: Weisen Sie nach, dass die Gerade t mit der Gleichung t(x)=-6x+37/4 Wendetangente an den Graphen Gf ist. Aus t(x) kann ich ja den Anstieg m=-6 entnehmen. Aber wie geht es jetzt weiter? Wäre euch echt dankbar wenn ihr mir das erklären könntet :)
Dankeschön!!!

Eiland · Accepted Answer

Wendetangenten sind die Geraden die auf einem Wendepunkt liegen.

Eine Funktion hat einen Wendepunkt in einem Punkt x, wenn die 2. Ableitung 0 ist.

Also muss du zunächst die 2. Ableitung berechnen (ich schreib gleich auch die 1. auf, denn die brauchst du auch)

Es ist:

f'(x) = 6x^2 - 6x - 4,5
f''(x) = 12x - 6

Für den Wendepunkt 2. Ableitung 0 setzen:

0 = 12x - 6 --> x=0,5

Also hat hat die Funktion im Punkt x=0,5 einen Wendepunkt. Jetzt wollen wir die Steigung der Tangente in diesem Punkt wissen, d.h. wir setzen x=0,5 in die erste Ableitung ein:

f'(0,5) = 6*0,25 - 6*0,5 - 4,5 = 1,5 - 3 - 4,5 = -6.

Die Steigung der Tangente beträgt also im Wendepunkt -6, also ist m=-6.

Also lässt sich die Tangente erstmal folgendermaßen aufschreiben

t(x)=-6x + b.

Jetzt wollen wir noch b berechnen. Wenn wir jetzt einen Punkt kennen, den die Gerade beührt, sind wir fertig (dann einfach den Punkt für x und y einsetzen und nach b auflösen).

Wir wissen dass die Gerade genau auf dem Wendepunkt liegt, der bei x=0,5 liegt. Um jetzt den y Wert an diesem Punkt rauszufinden, müssen wir x=0,5 in die Ursprungsfunktion einsetzen:

f(0,5) = 2* 1/8 - 3* 1/4 - 4,5*0,5 + 9 = 0,25 - 0,75 - 2,25 + 9 = 6,25

d.h. deine Gerade liegt auf dem Wendepunkt (0,5/6,25). Jetzt für x=0,5 und für y=6,25 in t(x) einsetzten und es folgt:

t(0,5)=6,25 = -6 * 0,5 + t --> t = 9,25 = 37/4

Also ist die Wendetangente t(x)=-6x + 37/4.

Wendetangente.....?

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