Nullstellen berechnen Funktionenscharen...?

Question

Hey,
bereite mich zurzeit fleißig auf die Matheprüfung vor und bin jetzt bei Funktionenscharen "gelandet". Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=1/2ax^3-3/2ax+a. Mich stören weniger die Parameter, vielmehr habe ich ein Problem damit, überhaupt einen sinnvollen Ansatz zu finden. Ich will mich jetzt nicht entschuldigen, aber so eine Aufgabe haben wir im Unterricht nie gelöst. Die Funktionen, die wir im Unterricht "bearbeitet" haben, waren immer mittels ausklammern oder Substitution  zu lösen, egal ob mit oder ohne Parameter. Aber beides geht hier ja leider nicht (denke ich zumindest^^). Könnt ihr mir das mal erklären? Dankeschön!!!

Zac Z · Answer

Wie Eiland schon geschrieben hat, muss man bei solchen kubischen Gleichungen eine Lösung raten. Allerdings halten sich die Möglichkeiten, die für eine schulische Bearbeitung sinnvoll sind, in sehr engen Grenzen. In der Regel es eine ganze Zahl, deren Betrag selten größer als 3, meist nicht mal größer als 2 ist. (Du musst also praktisch nur vier oder sechs mögliche Nullstellen untersuchen: -2; -1; 1; 2; evtl. noch -3 und 3).

Allerdings würde ich hier erst noch a, oder zur besseren Übersicht 1/2 a ausklammern:
1/2 a x³ - 3/2 a x + a =
a (1/2 x³ - 3/2 x + 1) =
1/2 a (x³ - 3x + 2)

Da ein Produkt dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, kannst du das 1/2 ignorieren.
Für a=0 wird aus der "kubischen" Funktion die x-Achse y=0.

Bleibt zur weiteren Betrachtung nur noch: x³ - 3x + 2
Und hier sieht man eigentlich schon auf den ersten Blick, dass x=1 eine Lösung ist, denn es gilt
1 - 3 + 2 = 0

Dann per Polynomdivision durch (x-1) teilen und die Nullstellen der resultierenden quadratischen Gleichung mit einer der bekannten Lösungsmethoden ermitteln.

Gruß,
Zac

Eiland · Answer

In diesem Fall ist es sinnvoll, eine Nst zu raten. Bei Aufgaben, bei den die Nullstellen raten musst, lässt sich eine Nst leicht bestimmen.

Bei deiner Aufgabe wäre x1=1, denn 1/2a - 3/2a + a = 0.

Anschließend Polynomdivision, also
(1/2ax^3 - 3/2ax +a)/(x-1)= 1/2*a*x^2 + 1/2 a*x - a

d.h. fa(x)=(1/2*a*x^2 + 1/2ax - a)*(x-1) = 
1/2*a*(x^2+x-2)*(x-1)

Mittels Satz von Vieta bzw. Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert:

fa(x)=1/2*a*(x-2)*(x+1)*(x+1)=1/2*a*(x-2)*(x+1)^2

Für die Nullstellen gilt also:

x1,x2 = 1    (doppelte Nst)
x3 = 2         (einfache Nst)

Ich hoffe du hast die Nullstellen gesucht.

SonGohan · Answer

Also willst du jetzt die Nullstellen der Funktion fa(x) herausfinden?

Einmal ableiten, Funktion gleich null stellen, x berechnen und schon fertig.

Nullstellen berechnen Funktionenscharen...?

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