Rechnen mit Betragsstrichen, genau so einfach wie ohne ?

Die Beitragsfunktion ist leider nicht ganz so einfach wie man es eben denkt. Bei Berechnungen mit Beträgen (Beitragsfunktion) müssen immer beide Möglichkeiten des Wertes zwischen den Beitragsstrichen überprüft werden (positiver und negativer Wert).

Beispiel 1)

Aufgabe 1)

Es gilt für |b - 3|

wenn b >= 3 dann gilt |b - 3| = b - 3

wenn 0 <= b < 3 dann gilt |b - 3| = (-1) * (b - 3) = 3 - b

wenn b < 0 dann gilt |b - 3| = |b| + 3 = (-1) * b + 3

|5 - 3| = 2

|1 - 3| = |-2| = 2

|-2 - 3| = |-5| = 5

Beispiel 1)

Aufgabe 2)

Es gilt für |3 - b|

wenn 3 <= b dann gilt |3 - b| = (-1) * (3 - b) = |b| - 3 = b - 3

wenn 0 <= b <= 3 dann gilt |3 - b| = 3 - b

wenn b < 0 dann gilt |3 - b| = 3 + |b| = 3 + (-1) * b

|3 - 5| = |-2| = 2

|3 - 1| = |2| = 2

|3 - (-2)| = |3 + 2| = |5| = 5

Beispiel 2)

|x² + 2x + 8| = 8

Der Betrag auf der linken Seite wird wie folgt in zwei Gleichungen zerlegt:

Der Wert innerhalb der Betragsfunktion ist positiv:

( 1) * (x² + 2x + 8) = 8

Der Wert innerhalb der Betragsfunktion ist negativ:

(-1) * (x² + 2x + 8) = 8

Berechnung Gleichung 1

x² + 2x + 8 = 8

x² + 2x + 0 = 0

x12 = -1 +/- Wurzel(1 - 0) = -1 +/- 1

x1 = 0

x2 = -2

Berechnung Gleichung 2

(-1) * (x² + 2x + 8) = 8

-x² - 2x - 8 = 8

-x² - 2x - 16 = 0

x² + 2x + 16 = 0

x34 = -1 +/- Wurzel(1 - 16) = -1 +/- Wurzel(-15)

x3 und x4 haben keine Lösung.

Es müssen beide Gleichungen gerechnet werden, da man nicht vorher weiß, ob es dort auch noch Lösungen gibt.

Beispiel 2)

ähnliche Aufgabenstellung

|x² + 2x - 9| = 2x

Gleichung 1 + 2

x² + 2x - 9 = 2x

-x² - 2x + 9 = 2x

Berechnung Gleichung 1

x² + 2x - 9 = 2x

x² - 9 = 0

x² = 9

x = +/- Wurzel(9)

x1 = 3

x2 = -3

Berechnung Gleichung 2

-x² - 2x + 9 = 2x

-x² - 4x + 9 = 0

x² + 4x - 9 = 0

x34 = -2 +/- Wurzel(4 - (-9)) = -2 +/- Wurzel(13) = -2 +/- 3,6056

x3 = 1,6056

x4 = -5,6056

Die beiden Lösungen x2 und x4 sind aber keine Lösung der Gleichung, denn die linke Seite (Beitragsfunktion) ist immer positiv und darum muss auch die rechte Seite positiv sein.

Lösungen sind somit:

x1 = 3

x3 = 1,6056

Siehe auch: http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%C2%B2+%2B+...

Beispiel 3)

Die Funktion wird hier auch in zwei Teilfunktionen zerlegt.

y = |x - 1|

y1 = ( 1) * (x - 1) = x - 1

y2 = (-1) * (x - 1) = -x + 1

Beide Funktionen werden beginnend auf der x-Achse nur oberhalb der x-Achse gezeichnet.

Siehe auch: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y+%3D+|x...

Hier naoch eine Ergänzung:

Addition

| (+a) + (+b) | = |a| + |b|

| (+a) + 0 | = |a|

| (+a) + (-b) |

wenn |a| < |b| dann ist: |b| - |a|

wenn |a| = |b| dann ist: 0

wenn |a| > |b| dann ist: |a| - |b|

| 0 + (+b) | = |b|

| 0 + 0 | = 0

| 0 + (-b) | = |b|

| (-a) + (+b) |

wenn |a| < |b| dann ist: |b| - |a|

wenn |a| = |b| dann ist: 0

wenn |a| > |b| dann ist: |a| - |b|

| (-a) + 0 | = |a|

| (-a) + (-b) | = |a| + |b|

Subtraktion

| (+a) - (+b) |

wenn |a| < |b| dann ist: |b| - |a|

wenn |a| = |b| dann ist: 0

wenn |a| > |b| dann ist: |a| - |b|

| (+a) - 0 | = |a|

| (+a) - (-b) | = |a| + |b|

| 0 - (+b) | = |b|

| 0 - 0 | = 0

| 0 - (-b) | = |b|

| (-a) - (+b) | = |a| + |b|

| (-a) - 0 | = |a|

| (-a) - (-b) |

wenn |a| < |b| dann ist: |b| - |a|

wenn |a| = |b| dann ist: 0

wenn |a| > |b| dann ist: |a| - |b|

Multiplikation / Division

| a * b | = |a| * |b|

| a / b | = |a| / |b|

b darf nicht gleich Null sein.