Mathe - Differenzenquotient, Ableitungen, Tangentengleichung?

Question

Hey Leute

Ich schreibe morgen eine Klassenarbeit in Mathe und glücklicherweise habe ich eine Arbeit von einer Schülerin aus dem letzten Jahr kriegen können, also bin ich jetzt natürlich drauf und dran, die Arbeit vollständig richtig zu lösen. Allerdings verstehe ich einfach ein paar Aufgaben gar nicht. Es wäre wirklich ganz toll, wenn mir jemand diese Aufgaben mit einem verständlichen Rechenweg erklären könnte. 
Die Arbeit nochmal ganz genau abfotografiert: 
https://dl.dropboxusercontent.com/u/39645777/20140316_155309.jpg
https://dl.dropboxusercontent.com/u/39645777/20140316_155312.jpg
https://dl.dropboxusercontent.com/u/39645777/20140316_155320.jpg
https://dl.dropboxusercontent.com/u/39645777/20140316_155324.jpg
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Erste Aufgabe hab ich, nun zur zweiten:
Die Ableitung von f(x) = 3/3+x^2 ist ja -1/16 
Also setz ich das in die Tangentengleichung ein y= -1/16*(X-1)+0,25 
Stimmt das so?

Die dritte, vierte und fünfte Aufgabe bekomm ich auch hin, nur die beiden letzten Aufgabe machen mir zu schaffen. Zur 4:

Um den Schnittpunkt rauszukriegen, setz ich doch einfach die beiden Tangentengleichungen gleich oder? 
Also hab ich die Ableitungen gebildet -1/x^2 und 1/4x und diese eingesetzt. 
Also -1/x^2*(X-Xo)+Yo = -1/4x(X-X0)+Y0 
Und was muss ich jetzt machen? Ich habe ja nichts anderes gegeben?

Nummer fünf verstehe ich absolut gar nichts wäre super toll wenn man mir das erklären könnte.

Vielen Dank im Voraus

KN · Accepted Answer

Bei der 2 sollste Du nicht Ableiten, sonder den Differenzenquotienten verwenden, also

lim h->0 (f(x-h)-f(x))/h

Jetzt zunächst ohne lim.Ich dann die Ziffern nicht so ganz entziffern und vermute f(x) = 3/(3+x²)

f(x+h)-f(x) = 1/h{3/(3+(x+h)²)-3/(3+x²)} //1. Bruch mit 3+x² und 2. Bruch mit 3+(x+h)² erweitern

=1/h {3*(3+x²)-3*(3+(x+h)²/((3+(x+h)²)*(3+x²))} //Zähler und Nenner ausmultiplizieren

= 1/h{(9+3x² -9 -3x²-6 x h - 3h²)/(9+3x²+6xh+3 h²+ 3x²+x^4+2x^3h+x² h²)

// im Zähler fallen die 9 -9 und die 3 x²-3 x² weg und es bleibt -6x h -3 h² diese dividiere ich noch durch h (das 1/h vor der {}) und als Zähler bleibt -6x-3h

=(-6x-3h)/(9+3x²+6xh+3 h²+ 3x²+x^4+2x^3h+x² h²) //jetzt lim h->0 (alle gleider mit h fallen weg)

= -6x /(x^4+6x²+9) //im Nenner steht ein Binom

= -6x/(x²+3)²

Dann nur noch x=1 einsetzen

Bei der 6 (ich vermute die Funktionen sind f= 1/8 x² und g=(1/x)

Der Schnittpunkt ist dann f(x)= g(x),also

1/8 x² = 1/x <=> x³ = 8 <=> x=2 und f(x)=g(x) =1/2

für die jeweilige Tangente T verwendest Du die Punktrichtungsform der geraden:

Tf = m (x-x1) + y1 = f '(x1) (x-x1)+ 1/2 = 2/8 x1 (x-x1) +1/2 = 1/2 (x-2)+1/2 =1/2x-1/2

Tg = g'(x1) (x-x1) +1/2= -x/4+1

Bei der 7 suchst Du zunächst eine Tangente an die f(x) = Wurzel(x) mit der Steigung m=tan(14°). Die Ableitung der Wurzel ist

1/(2 Wurzel(x)) =tan(14°) =ungefähr 0,25=1/4

2 Wurzel(x) =4

x=4 und f(4) =2 und f '(4) = 1/4

Jetzt kannst Du wieder mit der Punkt-Richtungsformel der Tagentenarbeiten, die Nullstelle suchen. Oder du sagst einfach pro LE verliere ich 1/4m an höhe, also muss ich um die 2LE Höhe zu verlierend 8 LE zurückgehen, spricht bei 4-8=-4LE beginnt die Rampe. Die Länge der Rampe ergibt sich aus dem Pytagoras

L=Wurzel(8²+4²)=10LE

Für die Länge in m multiplizierst Du jeweils mit 5 m

bewinol · Answer

Erst mal die 6:
Nein, du musst für den Schnittpunkt f(x) und g(x) gleichsetzen:
1/a*x^2 = 1/x  | *x , dann *a
x^3 = a  -->
xN =  , yN = 1/3.Wurzel(a)

Für die Steigungen beide ableiten und xN einsetzen:

Mathe - Differenzenquotient, Ableitungen, Tangentengleichung?

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