Extremwertaufgabe...max. Fläche im rechtwinkligen Dreieck?

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 80m und 100m stellt ein

Baugrundstück dar. Bei welchen Abmessungen wird eine Gebäudefläche am

größten?

Es sei 'x' die Länge der Gebäudefläche auf der Kathete = 100m

Es sei 'y' die Breite der Gebäudefläche auf der Kathete = 80m

Hauptbedingung, HB: A=xy -> maximal

Nebenbedingung, NB:

80:100=y:(100-x)

y=(80/100)*(100-x)

A(x)=xy=x(80/100)*(100-x)

A(x)=xy=(80/100)*(100x-x²)

HB:A(x)=(80/100)*(100x-x²)

(80/100) ist ein konstanter positiver Faktor im

Term der Hauptbedingung und darf weggelassen werden.

Die vereinfachte

HB:A(x)=-x²+100x

A'(x)=-2x+100

A'(x)=0

0=-2x+100

x=50

In die Nebenbedingung y=(80/100)*(100-x)

x=50 einsetzen.

y=(80/100)*(100-50)=(4/5)*50

y=40

Die gesuchten "Abmessungen" sind 40m mal 50m.

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Den Seinen gibt's der Herr im Schlaf.

15 Stunden später.

Möglichkeit 2:

Die gesuchten "Abmessungen" sind 64,03m mal 31,23m.

Es sei 'x' die Länge der Gebäude(grund)fläche

auf der Hypothenuse AB(c) des rechtwinkeligen Dreiecks ABC.

Es sei 'y' die Breite der Gebäude(grund)fläche und

parallel zur Höhe 'h' auf die Hypotenuse AB.

Die Gebäudegrundfläche habe die Eckpunkte 'D' links

und 'E' rechts auf der Hypotenuse AB,

sowie 'F' auf der Kathete BC(a) und

'G' auf der Kathete CA(b).

Für die Berechnung der maximalen Grundfläche

genügen die Größen für die Katheten BC und CA.

Die Zuordnung 100m und 80m ist bedeutungslos.

HB: A=xy -> maximal

Die Dreiecke ABC und GFC sind ähnlich.

c:h=x:(h-y) <=> c(h-y)=hx

NB: x=c(h-y)/h = (c/h)(h-y)

HB: A(y)=xy=(c/h)(h-y)y=(c/h)(hy-y²)

(c/h) ist ein konstanter Faktor im Term der HB

und darf weggelassen werden.

Hier die vereinfachte

HB: A(y)=hy-y²

A'(y)=h-2y

h-2y=0 <=> y=(h/2)

Die Höhe 'h' auf c (Hypotenuse) in einem

rechtwinkeligem Dreieck =ab/c

Die Hypotenuse 'c' = √(a²+b²)

h=ab/c

(h/2)=(1/2)(ab)/√(a²+b²)

h/2=(1/2)(100*80)/√(100²+80²)

h/2=y

y= 31,23475238

y-Wert (=h/2) in die NB einsetzen:

x=c(h-y)/h=c(h-h/2)/h=c*(h/2)/h

x=(1/2)c

x=(1/2)√(100²+80²)

x=64,03124237

Die gesuchten "Abmessungen" sind

64,03m mal 31,23m.

Die Gebäudegrundfläche hat 2000m²

Vergleiche Möglichkeit 1:

50m mal 40m = 2000m² !

Eine Zeichnung (oder wenigstens eine Beschreibung der Lage des Gebäudes) wäre u. U. hilfreich.

Ich nehme an, dass es etwa so aussehen soll:

B

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|.........|

|.........|

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C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Die Hypotenuse ist AB.

gegeben:

AC=100m

BC=80m

Finden der Zielfunktion, also einer "Formel" für die Größe, die extrem werden soll; das ist hier die Gebäudefläche. (Gut, wenn es "am größten" werden soll, könnte man es auch unendlich in die Höhe bauen. ;) )

B

|

|E____D

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|.........|

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C . . . F . . . . . . . . . . . . . . . . . A

Nehmen wir mal an, dass es ein rechteckiger Grundriss wird:

A = f(CF,DF) = CF ⋅ DF

(A ist jetzt nicht der Punkt, sondern der Flächeninhalt der Grundfläche.)

Die Größe, die extrem werden soll, hängt also von ZWEI Variablen ab;

man muss mithilfe einer geeigneten Nebenbedingung eine der beiden ersetzen.

(Ist schon ein etwas schwieriger Fall für das Finden der Nebenbedingung, denn der Strahlensatz wird - im Schulstoff - nicht so oft gebraucht.)

Man erhält die typische Strahlensatzfigur entweder mit A als Scheitelpunkt und DF sowie BC als Parallelen(-abschnitte) oder mit B als Scheitelpunkt und ED sowie CA als Parallelen(-abschnitte).

Ich wende mal den ersten Fall an (A als Scheitel):

AF . . AC . . . . . . . . AF ⋅ BC . . . (100m - CF) ⋅ 80m

---- = ----- → DF = -------------- = -------------------------- = ...

DF .. BC . . . . . . . . . AC . . . . . . . . . . . . 100m

Lasse ich jetzt mal die Einheit(en) weg, dann ergibt sich folgende (mögliche) Beziehung zwischen CF und DF:

DF = 0,8 ⋅ (100 - CF)

Eingesetzt in die angegebene Gleichung: liefert das:

A = f(CF) = CF ⋅ [0,8 ⋅ (100 - CF)] = CF ⋅ (80 - 0,8⋅CF) = 80 ⋅ CF - 0,8 ⋅ CF²

Der Graph dieser Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel, deren Scheitel (also deren Extremum) man auch elementar berechnen könnte:

y = f(x) = - 0,8 x² + 80 x = - 0,8 ⋅ (x² + 100 x)

↓

MAX( 50 | f(50) )

Die Maße der rechteckigen Grundfläche (für die oben beschriebene Lage) sollten also sein:

CF = 50 m

und (aus der Nebenbedingung)

DF = 40 m

Damit ergibt sich als Flächeninhalt (für die GebäudeGRUNDfläche):

A = f(50) = - 0,8 ⋅ (50² + 100 ⋅ 50) = 6500

Ich will nicht hoffen, dass nach dem Oberflächeninhalt eines unendlich hohen Gebäudes mit dreieckiger Grundfläche gefragt ist.

Indem man ein dreieckiges Gebäude baut, dessen Wände die drei Dreiecksseiten sind. ;>)

Aber Spaß beiseite.

Lege das Dreieck so in ein Koordinatensystem, dass die beiden Katheten auf den beiden Achsen liegen. Dann schneidet die Hypotenuse die x-Achse bei x=100 und die y-Achse bei y=80 (geht natürlich genauso mit x=80 und y=100).

Damit liegen auch zwei der Mauern auf jeweils einer Achse, und die gegenüberliegende Ecke liegt auf der Hypotenuse. Diese hat die Gleichung

h(x) = y = -80/100*x + 80

Die Gebäudefläche ist dann

A(x) = x*y = x*(-0,8*x + 80) = -0,8*x² + 80*x

Das muss man dann nach x ableiten und =0 setzen (für den Extremwert):

A'(x) = -1,6*x + 80 = 0

Damit ergibt sich

x = 50m, y = 40m, A = 2000m²

Die Hypotenuse ist 128.062m lang.

Wie soll das Gebäude aussehen?