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Integral Flächenberechnung Frage?
Gesucht ist der Inhalt A des Flächenstücks, das die Graphen der Funktionen f(x)=2-x^2 und g(x)=x^2 miteinander einschließen.
Nun habe ich verstanden dass man die Schnittstellen braucht welche man erhält indem man beide Funktionen gleich setzt, man bekommt also x=-1 und x=1.
Also braucht man das Integral von -1 bis 1 nun wird aber in der Lösung folgendes gesagt:
A = 2x (Integral von 0 bis 1) (2-2x^2)dx was dann 8/3 FE ergibt . Das habe ich verstanden wegen der Symmetrie kann man auch einfach 2x 0 bis 1 nehmen jedoch wird hier doch total die Funktion g(x)=x^2 ignoriert da ist doch ein Teil der Fläche dabei die g(x) nicht abdeckt, muss man das nicht subtrahieren?
Ups mein Fehler :)
2 Antworten
- KNLv 7vor 9 JahrenBeste Antwort
f(x)-g(x) = 2 - x² - x² = 2 -2x²
Genau das macht die Lösung. Zitat von Dir "A = 2x (Integral von 0 bis 1) (2-2x^2)dx was dann 8/3 FE ergibt" g(x) wird nicht ignoriert sondern ist im Integranten enthalten.
- WurzelgnomLv 7vor 9 Jahren
Die Antwort von Kn ist prima (deshalb auch ein "Daumen hoch" von mir)
(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (2 - x²) - (x²) = 2 - x² - x² = 2 - x²
Hier aber noch ein anderer Tipp, wie das noch einfacher gehen würde:
Sieh Dir die Figur an.
Sie besteht aus vier kongruenten Teilstücken.
(Noch besser könntest Du das erkennen, wenn Du das Koordinatensystem um eine Einheit nach oben verschieben würdest, bzw. beide Funktionen um eine Einheit nach unten.
Und dann ist die Fläche A
A = 4 Integral von 0 bis 1 der Funktion f mit f(x) = - x² + 1 =
4 * [ - x³ / 3 + x] (von 0 bis 1) =
4 * ( - 1/3 + 1) =
4 * 2/3 = 8/3
