Normalenvektor über Skalarprodukt oder Vektorprodukt?

Natürlich kann man zwei verschiedene Normalenvektoren erhalten, nur müssen die dann linear abhängig sein.

Beispiel:

Gegeben seien die Vektoren (1;2;3) und (4;5;6)

Gehst Du nun über das Vektorprodukt, erhältst Du:

((1;2;3) x (4;5;6) =

2*6 - 3*5 = - 3

3*4 - 1*5 = 6

1*5 - 2*4 = - 3

Gehst Du über das Skalarprodukt, erhältst Du:

(1;2;3) * (x;y;z) = > (I) x + 2y + 3z = 0

(4;5;6) * (x;y;z) => (II)4x + 5y + 6z = 0

2*(I) 2x + 4y + 6z = 0

( I I) 4x + 5y + 6z = 0

--------------------------------

2x + y = 0 => y = - 2x

Setzt Du jetzt (willkürlich) x = 1, so ergibt sich y = - 2 und

(I) 1 - 4 + 3z = 0 => z = 1, also n(1; - 2; 1)

Und es gilt - 3(1; - 2; 1) = ( - 3; 6; - 3)

Wenn Du den Normalenvektor allerdings normierst, erhälts Du in jedem Falle (bis auf Orientierung) den gleichen Vektor:

|(- 3; 6; - 3)| = wurzel(9 + 36 + 9) = wurzel(54) = wurzel(9*6) = 3*wurzel(6)

Der normierte Vektor wäre damit 1/[3*wurzel(6)] * ( - 3; 6; - 3) = 1/wurzel(6) * ( - 1; 2; -1)

|(1; - 2; 1)| = wurzel1+4+1)| = wurzel(6)

Der normierte Vektor wäre:

1/wurzel(6) = (1; - 2; 1)

@Anmerkung:

Der Begriff "Normalenvektor" beinhaltet nur die Aussage, dass es ein Vektor ist, der zu einem vorgegebenen geometrischen Objekt senkrecht/orthogonal steht.

Wird er normiert, hat also die Länge 1, so ist es ein normierter Normalenvektor, also ein Einheitsvektor in Richtung der Normale.

Siehe auch hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor

Hallo!

Ich greife mal Wurzelgnoms Beispiel auf und plotte Dir dieses Beispiel, damit Du Dir das vorstellen kannst:

a X b = c

(1,2,3) x (4,5,6) = (-3 , 6 , -3) = c

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2C2%2C3%...

Siehe auch Wikipedia, Kreuzprodukt

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

einwenig runterscrollen, Rechte-Hand-Regel (Das Kreuzprodukt = a x b ist ein orientierter Vektor. Der entegengesetzte Vektor - a x b = b x a)

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:RH...

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Eigensch...

Jetzt kannst Du auch alle Daten über dieses Ergebnis (Kreuzprodukt c) ablesen.

Länge/Betrag dieses Vektors c : | c | = 3√6 ≈ 7,35

Der Betrag eines Vektors ist stets positiv, logisch oder?

Der nomalisierte Vektor c = der (orientierte) Normaleneinheitsvektor

1/ | c | mal (- 3 , 6, -3) = ( -1/√6 , √(2/3) , (-1/√6) ) = n <-- Normaleneinheitsvektor

Diesen Vektor würdest Du auch erhalten, wenn Du den Normalenvektor über das Skalarprodukt ermittelst:

Ich nehme mal wieder das Beispiel von Wurzelgnom

"...

/1;2;3) * (x;y;z) = > (I) x + 2y + 3z = 0

(4;5;6) * (x;y;z) => (II)4x + 5y + 6z = 0 ...."

=> ( -1/√6 , √(2/3) , (-1/√6) ) = n

bzw. irgendein Vielfaches von n (da Du für x jeden Wert aus |R ansetzen kannst (=> y, z in Abhängigkeit von x )

t * (1/√6 , (-√(2/3)) , 1/√6) = t *n

Die Länge dieses Vektors ist dann = t*1 = t, t aus |R

Jeden Normalenvektor, den Du über das Skalarprodukt findest, muss linear abhängig sein zu dem Normaleneinheitsvektor mit der Länge 1.

Das nützt Dir aber wenig, wenn Du den Abstand der beiden Richtungsvektoren bestimmen willst.

Der Vektor c = (-3 , 6 , -3) hingegen, den Du über das Kreuzprodukt ermittelst, ist auch eindeutig bestimmt, ein (orientierter) Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht (mit der Länge/Abstand ≈ 7,35) Dieses Ergebnis erhälst Du auch, wenn Du den Betrag von (-c) berechnest, auch logisch, oder?

(-c) würdest Du erhalten, wenn Du die beiden geg. Richtungsvektoren anders herum kreuzt.

b X a = -c

(4,5,6) x (1,2,3) = (3 , -6 , 3) = -c

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284%2C5%2C6%...

Auch hier ist die Abstand/Betrag von (-c) ≈ 7,35!

Der Normaleneinheitsvektor ist hier

1/ | c | mal ( 3 , -6, 3) = (1/√6 , (-√(2/3)) , 1/√6 )

(- n) = ( 1/√6 , (-√(2/3)) , 1/√6 ) = - n <---- der entgegengesetzter Normaleneinheitsvektor = minus n

der natürlich die gleiche Länge/Betrag besitzt , nämlich = 1.

Vergiß' das bloß mit dem Skalarprodukt. Damit erhälst Du nur ein willkürlich gewähltes Vielfaches des Normaleneinheitsvektors n

t * n = t * ( -1/√6 , √(2/3) , (-1/√6) ), für jedes t aus |R

Die Länge dieses Vektors ist stets t*1 = t, <---- t willkürlich gewählt!

Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.

@Wurzelgnom

Ja, Du hast Recht. Es gibt einen Unterschied zu den beiden Begriffen Normalenvektor und Normaleneinheitsvektor. Ich habe das korrigiert.

Aber das bestägt ja meine Aussage, dass man über das Skalarprodukt n u r den Normaleneinheitsvektor, bzw. ein beliebig gewähltes Vilefaches diesen erhält.

Länge = 1 mal ein beliebiges t aus |R\{0} = 1 * t

@Fragesteller/in

Vielleicht gibst Du uns mal die Aufgabenstellung zu Deiner Aufgabe. Ich hatte gerade eine ganz andere Idee, wie man den Abstand zweier Geraden im |R³ berechnet. Aber Du kannst auch Deine Daten (der beiden Richtungsektoren) in wolframalpha ersetzen und erhälst stets ein korrektes Ergebnis, das Kreuzprodukt.

Gruß