Matheaufgabe Abitur, keine Hausaufgaben-Hilfe ;)?

Question

Hallo,

ich hab vor nichtmal einer Woche mein Matheabitur geschrieben und bin damit sehr zufrieden, wo es Zwischenergebnisse etc. gab, kam auch alles auf anhieb raus. 
Ein kleines Problem hat sich mir in der Warscheinlichkeit gestellt. Keine Zwischenergebnisse und ein komplett anderer Aufgabentyp haben das ein wenig erschwert ;) Vielleicht kann mir aber hier ja einer helfen aus reiner Neugier und aus eine "Wette" mit meinem Vater *lach*
Mit geht es vor Allem um den Lösungsweg, da gerade die erste der Aufgaben bei mir erstmal eine Seite Kritzeleien hervorgerufen hat ohne wirkliches Ergebnis, bis ich dann zu meinem kam :)
Jeder noch so kleine Zwischenschritt ist beim Lösungsweg nicht nötig, ich mag Mathe ;)

Erstmal ein Link zu den kompletten Aufgaben :)
http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=d32681f81e49137e75b683833262eb3a

Und zwar handelt es sich um die letzten beiden Aufgaben auf Seite 9 :)
3
Die Bürgerinitiative veranstaltet am viel besuchten Badesee der Gemeinde eine Unterschriftenaktion gegen die geplante Windkraftanlage. Berechnen Sie, wie hoch der Anteil p der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen mindestens sein muss, damit sich unter zehn zufällig aus- gewählten Badegästen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage befindet.

4 
Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Ge- meinderat, dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Ge- meinde gegen die Errichtung der Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ab- lehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll?


Ich hoffe mir kann jemand helfen und schreibt (hoffentlich) meinen Lösungsweg, weil ich a gern die Punkte im Abi hätte und b ungern die Wette mit meinem Pa verliere ;)

LG Ju

kivaas · Accepted Answer

Aufgabe 3: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer unterschreibt, ist eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass keiner unterschreibt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person Windkraftgegner ist, ist gleich p. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person KEIN Windkraftgegner ist, muss also 1-p sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 zufällig ausgewählten Personen KEIN Windkraftgegner dabei ist, ist daher (1-p)^10.

Nun wollen wir, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner als 1% ist, damit man mindestens eine 99%ige Chance hat, eine Unterschrift zu bekommen.

Setze also (1-p)^10 !< 0,01. (Das Zeichen !< bedeutet "soll kleiner sein")

Beide Seiten sind positiv, also ziehe guten Gewissens die 10. Wurzel (das kann der Taschenrechner), und du erhältst

1-p !< 0,63095..., also etwa 63%. Der notwendige Prozentsatz der Windkraftgegner unter den Badegästen muss also mindestens 37% sein.

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Aufgabe 4: Ich nehme mal an, mit "Befragung" ist einfach nur etwas Binäres wie "bist du dafür oder dagegen" gemeint.

Nennen wir p wieder die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Bürger gegen die Windkraftanlage ist.

Irrtümliche Ablehnung der Vermutung würde bedeuten, dass die Vermutung zutrifft (also tatsächlich mindestens 55% der Wahlberechtigten dagegen sind), aber die Stichprobe ein anderes Ergebnis liefert. Die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung ist also

p * (Wahrscheinlichkeit, dass unter 200 Befragten WENIGER als 110 dagegen sind) !< 0,05.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 200 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten weniger als 110 Leute gegen die Windkraftanlage sind, ist mit der Binomialverteilung:

Summe (k=1 bis 109) (200 über k) * p^k * (1-p)^(200-k).

Also wollen wir, dass p * diese Summe !< 0,05 ist.

Wenn's dir Spaß macht, kannst du das p von vorn noch in die Summe reinmultiplizieren und erhältst

Summe (k=1 bis 109) (200 über k) * p^(k+1) * (1-p)^(200-k) !< 0,05.

Matheaufgabe Abitur, keine Hausaufgaben-Hilfe ;)?

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