Lösen von quadratischen Gleichungen mit der abc-Formel?

in die Formel einsetzen: a=1, b=6, c=5

Im folgenden soll das Lösen von quadratischen Gleichungen genau besprochen werden:

Im folgenden sei ein Schema zur Lösung von beliebigen quadratischen Gleichungen herzuleiten:

Es seien die Koeffizienten a,b,c (allgemein) vorgegeben. Dann kannst du sukzessive folgern:

ax²+bx+c = 0 |:a

<=> x²+(b/a)x+c/a = 0 | Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat

<=> x²+(b/a)x+(b/(2a))^2 = -c/a +(b/(2a))² |Anwenden der binom.Formel

<=> (x+b/(2a))² = b^2/(4a²)-c/a

<=> x+b/(2a) = +- sqrt((b²-4ac)/(4a²))

<=> x_(1,2) = -b/(2a) +- sqrt((b^2-4ac)/(4a²)) |"Schönermachen"

<=> x_(1,2) = (-b +- sqrt(b²-4ac))/(2a) (merke dies genau!)

----------------------------- ------------

----------------- ------------------------

Dabei wurde ein gewisses Vertrauen mit dem Umgang der Methode des quadratischen Ergänzens vorausgesetzt.

Beachte, dass du diesen Hintergrund verstehst - so hast du dann keinerlei Probleme mehr dieser Form von Gleichungen anzuwenden und eventuell ein Programm zu schreiben, welches - nach Eingabe der zugehörigen Koeffizienten - dir die (maximal) zwei Lösungen ausgibt.

Machen wir aber - der besseren Verständlichkeit halber - ein konkretes Beispiel mit der obig vorgestellten Methode.

Es seien die Nullstellen (Lösungen) der quadratischen (und natürlich reellwertigen) Funktion

f(x) = 1x²-3x-18 zu ermitteln.

Hier hast du folgende Werte für die Koeffizienten:

a= 1, b= -3 und c= -18.

Lösen wir nun dieses Problem konkret mithilfe obig vorgestellter Lösungsmethode:

x²-3x-18 = 0

<=> x²-3x+9/4 = 18+9/4

<=> (x-3/2)² = 81/4

<=> x-3/2 = +- 9/2

<=> (x = 12/2) v (x = -6/2)

Die gesuchten Nullsellen lauten daher N1(6/0), N2(-3/0).

Am einfachsten wird es dir vorkommen gleich in die "große Lösungsformel" bzw. "Mitternachtsformel" einzusetzen. Üben wir dies nun anhand diesen Beispiels.

Erinnere dich daran, wie die Koeffizienten lauten und an die obig doppelt unterstrichene Lösungsformel. Setzen wir nun einfach ein:

x_(1,2)= (3+- sqrt(9+4*1*18) )/2 = (3+- 9) /2

=> x_1 = (3+9)/2, x_2 = (3-9)/2

=> x_1 = 6, x_2 = -3

Und wie wir sehen, stimmen die Lösungen überein. Dies war auch zu erwarten, da wir ja in dem konkreten Zahlenbeispiel die zugehörige Lösungsformel implizit hergeleitet haben.

Ich hoffe, du hast nun zumindest verstanden, wie man in die Formel einsetzt. Falls nicht, melde dich einfach im Kommentarbereich und stelle bitte KONKRETE und NICHT ALLGEIMEINE Fragen, sodass ich klar weiß, wo du dich nicht auskennst!

Anmerkung:

Gewiss gibt es zur Lösung von quadratischer Gleichungen, oder allgemeiner, Polynomen andere Möglichkeiten und Kriterien.

Es ist jedoch im Rahmen der Didaktik nicht sinnvoll bevor der Fragesteller überhaupt ein gewisses Vertrauen mit quadratischen Gleichungen bekommen hat, gleich mit abstrakten Sätzen und Kriterien aus der höheren Mathematik (wie Eisensteinkriterium) das Problem zu lösen versuchen, da hier - völlig der Erwartung entsprechend - eine Verwirrung des Schülers vorprogrammiert ist...

Es gibt gewisse Gründe warum wir (natürlch die Politik - wir haben es nur empfohlen) das Unterrichten der Mengenlehre aus dem Grundschullehrplan herausgenommen haben; es müssen erst gewisse (rechen-)technische Fertigkeiten erworben werden um mit der Anschauung teils völlig entnommenen Begriffsbildungen überhaupt umgehen zu können (da erst so das abstrakte Denkvermögen in die richtigen (Denk-)Richtungen geschult wird).

Elleganz hat in der Matematik gewiss einen hohen Wert - jedoch erst im Sinne fortgeschritteneren Aufgaben.

Hier wird ja jede Menge Unsinn propagiert. die angegebene Gleichung liegt ja schon in der Normalform vor:

ax² + bx + c = 0

mit a = 1

x² + 6x + 5 = 0

oder

x² + 6x = -5

Um nun die Wurzel ziehen zu können, muss ein Binom erzeugt werden, das passiert mit der quadratischen Ergänzung:

x² + 6x + 3² = -5 + 3²

Die quadratische Ergänzung muss natürlich auf beiden Seiten der Gleichung zugefügt werden, damit sich die Gleichung nicht verändert. Nun lässt sich die linke Seite als Binom schreiben, die rechte Seite wird ganz einfach ausgerechnet:

(x + 3)² = 4

Nun wird die Wurzel gezogen:

x + 3 = ±√4 = ±2

das führt zu zwei Lösungen:

x1 = -3 - 2 = -5

x2 = -3 + 2 = -1

x² + 6x +

http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f16872ccd0...

für

a*x^2+b*x+c = 0.

x_1,2 sind die beiden Lösungen.

Das geht so weit ich weis, nur mit dem Taschenrechner. So machen wir das zumindest.

Da steht dann: ax²+bx+c