Wie kann man zu einem Dreieck ein flächengleiches Quadrat konstruieren?

Um ein Rechteck (a,b) in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln, verwendest du den Höhensatz.

h² = p*q

Du zeichnest eine Strecke mit der Länge a (ergibt Endpunkt P) und verlängerst um b. Über diese ganze Strecke zeichnest du einen Halbkreis (Thaleskreis). Im Punkt P zeichnest du die Höhe und schneidest sie mit dem Halbkreis (Punkt Q). => Strecke PQ = h ist die Seitenlänge des gesuchten Quadrats.

Für p und q hast du a und b genommen, für die Höhe h. Da mit den jetzigen Seitennamen a*b = h² gilt, ergibt sich die Flächengleichheit.

Die Antwort von matherwig ist prima.

Allerdings setzt sie voraus, dass Du zunächst ein Rechteck hast, das zu Deinem Dreieck flächengleich ist.

Dazu konstruierst Du zunächst mal das Dreieck.

Dann konstruierst Du daraus ein Rechteck, das den doppelten Flächeninhalt hat.

Das ist nicht schwer:

Die Grundseite nehmen (zum Beispiel c) und die dazugehörige Höhe (also zum Beispiel hc) aus der Konstruktion.

Das ergibt jetzt ein rechteck, das einen doppelt so großen Flächeninhalt hat wie das Dreieck.

Wenn Du jetzt eine der Rechteckseiten, also etwa c, halbierst und die andere Seite beibehältst, hast Du ein Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt hat wie Dein Ausgangsdreieck.

Und zu DIESEM Rechteck konstruierst Du jetzt mit Hilfe der von matherwig vorgeschlagenen Konstruktion ein dazu flächengleiches Quadrat.

Sollte das denn gehen ? Ich meine , ist das von dir eine Überlegung ? Berechnet wird ja nichts, nur mit Zirkel und Linieal muss es dann gehen.

Ich glaube ich habe eine Lösung, also:

A=1/2 hc c

Schritte:

hc kann man abgreifen (Lot fällen)

Zeichne eine lange Gerade, markiere einen Startpunkt.

da c=5,5 ist, muss man das hc einmal halbieren.

- trage 5 x hc und einmal das halbe hc auf der Gerade ab

- hat man die ganze Strecke 5,5 hc halbiert man diese.

- Der Flächenwert wäre nun die Gerade

Mit einer Höhe von EINS im rechten Winkel zur Gerade 5,5hc hätte man erstmal ein Rechteck der gleichen Fläche.

Die Höhe EINS im Maßstab wäre der 5.5te Teil von c UND ist die Differenz zwischen Seiten c und a

....da hätten wir ein Rechteck mit der Fläche A vom Dreieck

Quadratur unseres Rechteckes mit Seitenlängen 1 und 1/2 hc c siehe:

http://www.google.de/imgres?imgurl=http://www.hsg-...

Das sollte es sein.

Habe soeben das mal durchgezeichnet.

hc habe ich mit 6,2cm gemessen , somit A=17,05 cm²

gemessen Quadratseitenlänge nach Konstruktion: 4,25 cm, wäre 18 cm²

Abweichung 6%

A genau berechnet:

16,88 cm²

seitenlänge quadrat. 4,11cm. Abweichung zur Kontruktion 1mm

habe geschludert..eine seite war knapp 6,6cm statt 6,5

Bezeichne Dein Dreieck mit A, B und C und nimm c = 5,5 als Grundseite. (Nur zum Erklären!)

Dein Quadrat hat den Flächeninhalt A=1/2*c*hc.

Du zeichnest erst einmal das von Dir selbst erwähnte Rechteck: Die eine Seite ist c und die andere ist die halbe Höhe (musst es auch nicht zeichnen, konstruierst einfach nur den Mittelpunkt der Höhe des Dreiecks).

Und jetzt verwandeln wir dieses Rechteck in ein Quadrat und nutzen dazu den Höhensatz:

Im rechtw. Dreieck gilt: h²=p*q.

c des alten Dreiecks ist jetzt q des neuen rechtwinkligen Dreiecks und die halbe Höhe des alten Dreiecks ist p des neuen rechtwinkligen Dreiecks.

Seite c (altes Dreieck) =q (neues Dreieck) verlängerst Du in B um die halbe Höhe hc und benennst den Endpunkt mit D. q+p ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Im Punkt B des alten Dreiecks errichtest Du eine Senkrechte zur Hypotenuse. Das wird die Höhe des rechtw. Dreiecks.

Halbiere AD--->M und zeichne den Thaleskreis um M mit r = MA. Der Kreis schneidet die Senkrechte in B in einem Punkt E. ADE ist das rechtwinklige Dreieck, in dem jetzt gilt: BE² = q*p bzw. BE² = c*1/2hc. BE ist Höhe des rechtwinkligen Dreiecks und gleichzeitig eine Seite eines Quadrates mit A=1/2*c*hc. Dieses Quadrat kannst Du jetzt noch an BE ranzeichnen.

Flächeninhalt eines Dreieckes ist A = (g * h)/2

Flächeninhalt eines Quadrates ist A= a²

Sollen beide Flächen gleich groß sein, kann man die rechten Seiten der Gleichungen einfach gleichsetzen :

(g * h)/2 = a²

a wäre dann einfach die Wurzel aus (g * h)/2

Frag mich aber bitte nicht, wie nur aus der Kenntnis der Seitenlängen auf die Höhe kommt oder ob der Rechenweg nur für gleichseitige Dreiecke gilt :)

Frage doch deinen Lehrer!

Sollen wir deine hausaufgaben machen oder was??

ich wette, du hast dir nicht mal die Aufgabe durch den Kopf gehen lassen!

g.