sinusfunktion frage nach beweis?

Question

sin (x) = sin (x+k*360°) mit einer ganzen zahl k

dass diese aussage stimmen muss, ist logisch, aber gibt es einen mathematischen beweis durch termumformung o. ä. dafür?

KN · Accepted Answer

Du betrachtest den Einheitkreis. Der Sin des Winkels zwischen einer Halbgeraden aus dem Urspung und der x-Achse ist dann die Y-Koordinate des Schnittpunktes der Halbgerade mit dem Einheitskreis.  Eine Addition von k*360° liefert die gleiche y-Koordinate.

Das Gleiche gilt übrigends auch für den Cos, nur dass der dann der c-Koordinate mit der Halbgerade mit dem Einheitskreis entspricht.

Es geht aus noch einfacher. Wenn den k-mal um dem Kreis gelaufen ist, ist man wieder am gleichen Ausgangspunkt....

Wurzelgnom · Answer

Du kannst das mit 'ner Termumformung machen, aber das ist, als wÃ¼rdest Du mit Kanonen auf Spatzen schieÃen.

Es gibt ein Additionstheorem, das lautet:
sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y

Also:
sin (x + k*360Â°) = sin x * cos k*360Â° + cos x * sin k*360Â°

Dabei gilt:
cos k*360Â° = 1 und sin k*360Â° = 0, also
sin(x + k*360Â°) = sin x * 1 + cos x * 0 = sin x

Anonym · Answer

Nun: wenn die Bedingung fÃ¼r k  nur  k = eine ganze Zahl ist!
dann ist  0 ganz eindeutig eine ganze Zahl!
0 ist ja ganz eindeutig kein BruchstÃ¼ck einer ganzen Zahl!

Setze daher k =0
dann ist sin (x) = sin (x + 0*360Â°)
             sin (x) = sin (x + 0)
             sin (x) = sin (x) Was zu beweisen war!

sinusfunktion frage nach beweis?

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