Fächengrößtes Dreieck im Kreis?

Gegeben sei ein Kreis mit dem festen Radius r.

Ich mache das jetzt mal in zwei Schritten.

1. Für jede Sehne des Kreises gilt:

Wenn ich über ihr ein Dreieck errichte, bei dem der dritte Punkt auf der Kreislinie liegt, dann hängt der Flächeninhalt nur noch von der Höhe des Dreiecks ab. Diese wird am größten, wenn das Dreieck gleichschenklig ist. Da diese Überlegung für ALLE Sehnen im Kreis gilt, musss auch das gesuchte Dreieck ein gleichschnkliges sein.

2. Zu zeigen: Von allen gleichschenkligen Dreiecken, die man einem vorgegebenem Kreis k mit dem Radius r einbeschreiben kann, ist das gleichseitige das mit dem größten Flächeninhalt.

Dazu halbiere ich das gleichschenklige Dreieck längs seiner Symmetrieachse.

Ich erhalte zwei (zueinander symmetrische und damit kongruente) rechtwinklige Dreiecke.

Deren Grundseite nenne ich [AB] = r + x, ihre Höhe sei [CB] = h.

Dann gilt für jedes der beiden Teildreiecke: A = 1/2 (r+x)*h

Für das gesamte gleichschenklige Dreieck gilt:

A(Dreieck) = (r+x)h

Hierbei ist x/r = cos α und h/r = sin α.

http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-82-jpg-...

Dann ist der Flächeninhalt:

A(α) = (r + r cos α)r*sin α

A(α) = r² (sin α + sin α * cos α)

A'(α) = r² (cos α + cos²α - sin²α) = 2r²(cos²α + 1/2 cos α - 1/2)

Das verschwindet für:

cos1/2 α = - 1/4 +/- 3/4

cos α = - 1 entfällt

cos α = 1/2 => α = 60°

q.e.d.

http://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.ht...