Wie kommt man von f(x) auf f'(x) ?

Deine Frage ist zu allgemein.

Am besten suchst du bei google nach "Ableitung" und "Ableitungsregeln", dann findest du jede Menge.

Ein weiteres Stichwort wäre "Kurvendiskussion".

z.B. http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_ableitu...

Dein Beispiel:

2x² + x

für die Ableitung musst du die oben genannten Regeln anwenden:

(f(x) + g(x)) ' = f '(x) + g'(x)........hier f(x) = 2x², g(x) = x

(c f(x)) ' = c f '(x) .................... hier c = 2, f(x) = x²,

Ableitung von x² ist 2x, Ableitung von x ist 1

wenn du das alles zusammen machst, erhältst du

(2x² + x) ' = 2(x²)' + (x) ' = 2(2x) + 1 = 4x + 1

(d/dx ist einfach eine andere Schreibweise. Der Operator d/dx ordnet jeder Funktion ihre Ableitungsfunktion zu.

Stelle dir also d/dx als Funktionssymbol vor, welches eben jeder Funktion f ihre Ableitung nach x zuordnet. Dann ist d/dx f(x) = f'(x))

Das wäre eigentlich die korrektere Schreibweise, da wo ich oben immer einfach ' geschrieben habe.)

d ist eine fast unendlich kleine Zahlendifferenz, aber eben gerade noch nicht ganz 0.

d ist also ein spezielles Delta, das für Unterschied steht zB delta T =T1 -T2

dt steht fuer eine unendlich kleine Zeit(differenz). also v =s/dt, a=v/dt (Weg s , Geschw. v Beschleunigung a). Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Wegs (der Weg in 0.0000000...0001sec) usw.

Die Ableitung ist die Steigung des Graphs (winziges Stück (dx) nach rechts, winziges Stück (dy) hoch)

Ableiten ist recht einfach

x²' = 2x die hochstehende Zwei(quadrat) einfach als Multiplikator runterschreiben

x' =1

daher (2x² + x)' = 4x + 1

Morgen machen wir dann die Integration (das ist die Ableitung umgekehrt)

simple

Zu jeder Funktionsart gibt es eine Regel, wie mann die Ableitung dieser Funktion bildet.

Diese Regeln kannst Du bei Wikipedia finden. (zB. y = xhoch n, y' = nxhoch(n-1). oder y = sinx, y' = cosx. 'Dazu kommen noch die Produktregel (zB. für y = xsinx), die Quodientenregel (zB. für x/sinx) und die Kettenregel (zB. für y = sin (2x - 3).

Die Art der Frage läst darauf schließen, dass du das gesamte Prinzip der Differenzialrechnung nicht verstanden hast. Du bräuchtest hier einen kompletten Unterrichtsblock: Bedeutung und Herleitung der Ableitung.

Die erste Ableitung eines Graohen entspricht den Anstig in den jeweiigen Punkt.

Also die erste Ableitung von f(x) an der stelle x ist gleich dem Anstieg an der Stelle x.

Man kannda smathematisch relativ einfach herleiten, das es so ist ... wenn das gewünscht ist mach ich es dir gerne mal vor.

Man kann das regelrecht nachrechnen ... aber man macht das nicht, zumindest nicht bei einfachen Funktionen.

also man kann nachrechnen das die erste Ableitung von x = 1 ist ... oder von x² = 2x ... und all das. In der Schule wird das glaub ich sogar geübt. Das ist die sogenannte "h-Methode" nach der man das berechnet.

Aber da es umständlich ist jedes mal für jede popelige Funktion das "zu fuss" durch zu rechnen hat man dafür aber eigene Operatoren entwickelt und bildet sozusagen die Ableitung im Kopf. Man kann das durchaus als kopfrechnen bezeichnen.

in mathematisch allgemeiner Form sieht das ganze dann ziemlich simple aus:

f ' (x) = d /dx f(x)

bzw die umkehroperation: int( f ' (x)) dx = f(x) + C

Beispiel:

f(x) = 2x² + x

f ' (x) = d/dx ( 2x² + x ) = 4x + 1

Wenn du jetzt nachrechnen willst ob das Ergebnis stimtm, bräuchtest du die "h-Methode". Aber das mach ich dir nun nicht vor ...