Kann der Bahnradius des Mondes um die Sonne auch negativ werden?

Zunächst eine Anmerkung zur Schreibweise. {x,y} steht für eine Vektor mit der x-Koordinate x und der y-Koordinate y

Das kann man leicht ausrechnen. Die Parameterdarstellung eines Kreisbahn mit Radius R und Umlaufdauer T ist

f[t] = {R cos(2 Pi/T t), R sin(2 Pi/T t)}

Die Bahnkurve des Mondes ist einfach die Addition der beiden Bahnkurven der Erde um die Sonne (r1=150 Mio km, T1=365 Tg) und des Modes um die Erde (r2=0.384 Mio km, T2=28Tg):

M(t)= {r1 cos(2 Pi/T1 t)+r2 cos(2 Pi/T2 t),r1 sin(2 Pi/T1 t)+r2 sin(2 Pi/T2 t)}

Der Krümmungsradius der Bahn ist gegeben durch:

r[t_] = [Mx'(t)² + My'(t)²]^(3/2)/[Mx'(t) My''(t) - My'(t) Mx''(t)]

Also

r(t)=((60/73 Pi Cos[(2 Pi t)/365] + 0.0861694 Cos[(Pi t)/14])^2 + (-(60/73) Pi Sin[(2 Pi t)/365] - 0.0861694 Sin[(Pi t)/14])^2)^(3/2)/(-(-((24 Pi^2 Cos[(2 Pi t)/365])/5329) - 0.0193364 Cos[(Pi t)/14]) (60/73 Pi Cos[(2 Pi t)/365] + 0.0861694 Cos[(Pi t)/14]) + (-(60/73) Pi Sin[(2 Pi t)/365] - 0.0861694 Sin[(Pi t)/14]) (-((24 Pi^2 Sin[(2 Pi t)/365])/5329) - 0.0193364 Sin[(Pi t)/14]))

Davon kann man numerisch Minima und Maxima bestimmen. Ich habe als Lösung

rmin=112 Mio km

rmax=248 Mio km

Also wird der Bahnradius der Mondbahn um die Sonne nie negativ.

Es gibt ein zweite einfachere Betrachtung. Das System Erde-Mond macht beim Umrunden der Sonne zwei Bewegungen. Eine zur Sonne gerichtete Fallbewegung und eine dazu senkrechte Linearbewegung beide addieren sich Jeweils so, das ein Erde-Mond-Bahn um die Sonne entsteht. Und weil sich der Abstand zu Sonne im wesentlichen nicht ändert. änder sich auch die Fallgeschwindigkeit nicht wesentlich. Sie ist:

vF= D/(T/2) = 1.64 Mio km/Tag

mit den Bahndurchmesser D und der Umlauf Dauer T.

Der Mond umrundet die Erde mit

vM= 2 Pi r/ t = 0.086 Mio km/Tag

mit den Bahnradius r und der Umlaufdauer t.

Da vM<<vF fällt der Mond auch ständig Richtung Sonne, sein Bahnradiusmittelpunkt liegt nie auf der sonnenabgewandten Seite der Bahn.

@ mimas: Wie du selbst schreibst, am prinzipiellen Ergebnis ändert sich nichts. Nur zum andeuten. Bei eliptischen Bahnen multipliziert man vor den sin, bzw cos die große bzw. kleine Halbachse. Um die Neigung der Bahnebene phi gegen die Ekliptik berücksichtigen, multipliziert man vor der Addition die den Elipsengleichung des Mondes mit einer Drehmatrix ({cos(phi), sin(phi)},{-sin(phi), cos(phi)}]. Die Ausdrücke werden nur länger und es kommt (mit den Bahndaten von Wikipedia)

rmin=109 Mio km

rmax=258 Mio km

raus. Also der relative Fehler beim Rechnen mit gerundeten Bahndaten ist < 4%.

Kosmo hat im übrigen recht mit der welligen Kreisbahn des Mondes. Die Wellen sind jedoch so klein, dass wenn man sich die Bahn plottet so gering, dass die Ausbuchtungen mit blosem Auge nicht erkennbar sind. Bei der Frage geht es um die Bahnkurve, nicht um die Projektion der Bahn von der Erde gesehen gegen den Nachthimmel!

@ Thurd. In der Kinematik, ein Teilgebiet der Physik und Ingenieurswissenschaften, wird sehr wohl zwischen poitiven und negativen Bahn- oder Krümmungsradien unerschieden. Das Vorzeichen gibt dabei an, ob in Fahrtrichtung der Kreismittelpunkt links- oder rechts der Bahnkurve liegt.

@ Turd 2 Die Frage war "Kann der Bahnradius des Mondes um die Sonne auch negativ werden?" Bahnradius und Krümmungsradius sind Synonyme.

"Radius" ist ein Konzept, das selbst dafür sorgt, dass es niemals negativ werden KANN. Siehe dessen Definition.

Die Mathematik schützt sich selbst.

@KN: Krümmungsradius und Radius sind aber nicht das gleiche. In der Frage ging es ja um den Radius.

Vielleicht solltest du dich um klarere Begrifflichkeiten bemühen, denn mit den von dir verwendeten Begriffen, wie negativer Radius und einwellig, kann (vermutlich) außer dir niemand etwas anfangen.

Eines ist sicher, der Radius einer Kreisbahn kann NIEMALS negativ sein.

Und was eine einwellige Kreisbahn ist, ist mir leider auch unbekannt.

Also, der Mond bewegt sich um die Erde und er braucht dafür im Prinzip einen Monat.

(der genaue Wert der Bahnperiode hängt davon ab, welche Kriterien man zugrunde legt und beträgt zwischen 27,21 und 29,53 Tagen; das spielt aber bei unserer Betrachtungen jetzt keine Rolle)

Die Erde bewegt sich um die Sonne, sie braucht dafür ein Jahr, was ja 12 Monaten entspricht.

Also vollführt der Mond 12 Umrundungen der Erde während diese einmal die Sonne umrundet.

Genauer gesagt, Erde und Mond haben sich während der Umrundung der Sonne 12x um den gemeinsamen Schwerpunkt gedreht.

So gesehen beschreibt der Mond, wenn man das Sonnensystem von außen und sozusagen von oben, also aus Richtung des Nordpols der Sonne betrachtet, eine schleifenartige Bewegung.

Was du also jetzt mit einwellig meinst und inwiefern die Bahn konvex oder konkav dabei sein soll, ist mir leider unklar.

Ändern wird sich daran, wenn nicht was ganz Außergwöhnliches, wie der Zusammenstoß mit einem entsprechend großem anderen Himmmelskörper o.ä., dazwischenkommt, aber nichts.

Das heißt nicht viel, der Mond wird sich mit der Zeit von der Erde langsam (3,8 cm pro Jahr) entfernen, was aber an der oben beschriebenen Bewegung nichts wesentlich ändert.

http://de.wikipedia.org/wiki/Mond

http://de.wikipedia.org/wiki/Erde-Mond-Schwerpunkt

Nachtrag

@ Kosmo

Nun, dann meintest du halt eine wellige Kreisbahn, was aber auch nicht viel ändert, denn der Mond beschreibt eine Bahn langgezogener Schleifen und nicht eine in Form einer Welle.

@ KN

Wenn man es denn genau berechnen will, dann müßte man aber auch berücksichtigen das:

> die Bahn des Mondes kein Kreis, sondern eine Ellipse ist

> dies auch für die Bahn der Erde gilt

> man bei der Berechnung nicht Erd- bzw Mondmittelpunkt als Grundlage, sondern den gemeinsamen Massen-Schwerpunkt nimmt

> die Bahnebene des Mondes gut 5 Grad gegen die Ekliptik geneigt ist.

Ich will damit nur andeuten, dass für eine exakte Bestimmung noch eine ganze Reihe weiterer Faktoren zu berücksichtigen sind.

An dem grundsätzlichen Ergebnis ändert das aber nichts.

Der Mond bewegt sich auf einer zwölfschleifigen Bahn um die Sonne.

Ene Frage 2 Kathegorien. Gute Idee zumindest in diesem Fall stell die Frage noch bei den Mathematikern und die Antwort wird wohl lauten Ja. Denn in der Physik ist das nicht bekannt, aber es kann eine komplexe klösung für das Problem geben, die einen negativen Bahnradius beschreibt. In der Physik ist das allerdings nicht bekannt.

ich glaube das geht gar nicht oder???

Ähm? Der Mond kreist nicht um die Sonne - oder höchstens in dem Sinne, dass er halt um die Erde kreist, die wiederum um die Sonne kreist....