Stehende Welle: Eigenfrequenz (nur für Physikexperten!!!)?

Question

Wer kann mir bitte helfen???

Zeigen Sie, dass, wenn fa die Frequenz der Grundwelle ist, für die Frequenz fk der n. Oberwelle in einem dispersionsfreiem Medium gilt:

bei zwei gleichen Enden: fk= k*fa mit k=1,2,3,...
bei zwei unterschiedlichen Enden: fk= (2n-1)*fa mit n=1,2,3...

dispersionsfrei= Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nicht von der Frequnz ab.

Ahhh...ich hab keine Ahnung, wie man die Formeln beweisen kann!  Bin schon am verzweifeln...

jeffrey · Accepted Answer

Hallo! Grüβ Dich.
Um die Formeln zu beweisen, denke nur an die Form einer stehenden Welle.
Siehe 

http://yfrog.com/071q8j

Bei zwei gleichen Enden, beide Ende fest (beide Nodus) oder beide Ende frei
beweglich (beide Gegennodus), das kleinste Mögliche wäre
........ L = x2 – x0 = x4 – x2 = x6 – x4 = x8 – x6  (BEIDE NODUS)
........... = λ/2 – 0 = λ – λ/2 = 3λ/2 – λ = 2λ – 3λ/2 = λ/2 
oder
........ L = x3 – x1 = x5 – x3 = x7 – x5 = 2λ/4  (BEIDE GEGENNODUS)
........... = 3λ/4 – λ/4 = 5λ/4 – 3λ/4 = 7λ/4 – 5λ/4 = 2λ/4 = λ/2
Das heiβt 
........ 2 * L = λ
wobei L = der Abstand zwischen den beiden Enden.
Das nächst Gröβte wäre dann
........ L = x4 – x0 = λ – 0 = λ = 2λ/2 (BEIDE NODUS)
oder
........ L = x5 – x1 = 5λ/4 – λ/4 = 4λ/4 = λ = 2λ/2 (BEIDE GEGENNODUS)
Das heiβt 
........ 2 * L = 2 * λ
Dann folgte
........ L = x6 – x0 = 3λ/2 – 0 = 3λ/2 (BEIDE NODUS)
oder
........ L = x7 – x1 = 7λ/4 – λ/4 = 6λ/4 = λ = 3λ/2 (BEIDE GEGENNODUS)
Das heiβt 
........ 2 * L = 3 * λ
usw. Im allgemein also, bei zwei gleichen Enden
........ 2 * L = n * λ 
oder
........ λ = 2 * L / n
wobei n = 1 , 2, 3, ...
Weil v = f * λ erhalten wir
........ f = v / λ = v / ( 2 * L / n ) = n * v / ( 2 * L ) 
wobei n = 1 , 2, 3, ... Für n = 1 erhalten wir die Grundfrequenz
........ fg = v / ( 2 * L )
Bei zwei gleichen Enden, die Frequenz der n-te Oberwelle ist dann
........ fn = n * v / ( 2 * L ) = n * fg 
für n = 2, 3, 4, ...

Bei zwei unterschiedlichen Enden, ein Ende fest (ein Nodus) und das andere
frei beweglich (ein Gegennodus), das kleinste Mögliche wäre
........ L = x1 – x0 = λ/4 – 0 = λ/4 (NODUS UND GEGENNODUS)
Das nächst Gröβte wäre dann
........ L = x3 – x0 = 3λ/4 – 0 = 3λ/4  (NODUS UND GEGENNODUS)
Dann folgte
........ L = x5 – x0 = 5λ/4 – 0 = 5λ/4  (NODUS UND GEGENNODUS)
usw. Im allgemein also, bei zwei gleichen Enden
........ 4 * L = ( 2 * n – 1 ) * λ 
wobei n = 1 , 2, 3, ... Wie oben, bekommen wir
........ f = v / λ = v / [ 4 * L / ( 2 * n – 1 ) ] = ( 2 * n – 1 ) * v / ( 4 * L ) für n = 1 , 2, 3, ...
Für n = 1 erhalten wir die Grundfrequenz
........ fg = v / ( 4 * L )
Bei zwei unterschiedlichen Enden, die Frequenz der n-te Oberwelle ist dann
........ fn = ( 2 * n – 1 ) * v / ( 4 * L ) = ( 2 * n – 1 ) * fg 
wobei n = 2, 3, 4, ...

Tschüβ!

Stehende Welle: Eigenfrequenz (nur für Physikexperten!!!)?

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