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Ist das hier ein falsches Beispiel? (Flächen ausfüllende Kurve)?
Ich habe mich über das Wochenende mal ein bisschen durch Wikipedia gestöbert und bin auf folgendes gestoßen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagon...
Hier wird ein beispielhaftes Verfahren angegeben um eine Flächen ausfüllende Kurve zu erhalten.
"[...] Der Grenzwert dieses Verfahrens ist eine Kurve, die das gesamte Quadrat ausfüllt.[...]"
Optisch stimmt das vllt. auch. Aber erhält man hier nicht "nur" |Qx|Q statt |Rx|R ? Kann das eine Fläche sein? Lustiger Weise sollten doch, obwohl unendlich viele Punkte getroffen werden, auch unendlich viele -sogar überabzählbar viele- gleichzeitig nicht getroffen werden.
Oder ist der Grenzwert gegen unendlich der Schlüssel, welcher mir erlaubt doch alles zu treffen?
Edit:
-"ein beispielhaftes"
+"ein Beispiel für ein"
Und ich denke Flächen-ausfüllende-Kurve ist besser, als mit Leerzeichen.
@Andy
Ich habe lange überlegt, wie man zu dir Kontakt aufnehmen soll, du du über dein Profil keine Möglichkeiten dazu gibst und nur über Fragedetails und bearbeiteten Antworten kommuniziere ich nicht.
Deine Antwort enthielt teilweise auch falsche Aussagen und kommt von einem hohen Ross daher. Es ist im übrigen nicht so, dass mir die Begrifflichkeiten hier unvertraut sind. Neugierig wie ich bin, frage ich mich was für eine Person du sein magst und wie deine Beziehung zur Mathematik aussieht, denn deine Antwort hat kein stimmiges Bild abgegeben.
Ich hoffe du bist nicht enttäuscht. Der Hinweis auf die Diagonale hat eigentlich schon gereicht.
2 Antworten
- WurzelgnomLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Zunächst mal:
Mindestens der Satz "Diese (unendlich lange) Grenzkurve ist Bild einer stetigen Abbildung φ des Intervalls [0, 1]. " scheint mir nicht richtig, denn es wird ja gar nicht das gesamte Inetrvall abgebildet. Der Definitionsbereich ist nicht das Intervall [0 ; 1], sondern nur die Menge der rationalen Zahlen dieses Intervalls.
Allerdings irrst Du, wenn Du meinst, dass nur Punkte mit rationalen Koordinaten zur Bildmenge gehören würden.
Wenn beispielsweise die Diagonale von (0|0) nach (1|1) dazu gehört, so enthält diese natürlich auch den Punkt (1/2*wurzel(2) | 1/2*wurzel(2)) etc.
Dass man eindimensionalen Objekten (Zahlen - Punkten der Zahlengeraden in [0 ; 1] zweidimensionale Objekte (Strecken des Quadrats) zuordnen kann, ist ja nun nicht überraschend.
Ich biete - und damit bedecke ich nun das gesamte Quadrat - dazu folgende Abbildung:
r -> Strecke von (r | 0) bis (r | 1)
Der wesentliche Unterschied besteht aber darin, dass dies nicht als durchgehender Streckenzug möglich ist.
@Andrea
Per Definition wird das Quadrat ist kleinere Quadrate durch fortlaufende Teilung zerlegt. Den dadurch entstehenden Zahlen werden Strecken zugeordnet, aber eben nur diesen.
Irrationale Zahlen, derer es im Intervall (0;1) unendlich viele gibt, gelangen auf diese Weise nie in den Definitionsbereich.
- AndyLv 5vor 1 Jahrzehnt
Huhu ...
hoffst Du auf mehr Antworten?
Soll ich meine Antwort noch einmal posten?
Oder legst Du keinen Wert darauf?
Dann laß ich es!
