Mathe Hilfe? 10 Klasse!?

Question

Wie kriege ich die Lösung von (√2 + 1)^16 raus ohne Taschenrechner? Es soll eine natürliche Zahl rauskommen und es stand da irgendetwas von "Verwendung von umformungsregeln". Was ist das? ich bin ratlos! kann mir jemand helfen?

danke!

PS: die frage habe ich schon mal gestellt aber dummerweise habe ich minus statt plus hingeschrieben (und darum kam keine natuerliche zahl raus)

hsc591 · Accepted Answer

Hallo,
leider muss ich Dich wieder enttäuschen. Es kommt wieder keine natürliche Zahl raus.
Im Prinzip musst Du in der Antwort zu (√2 - 1)^16 nur ein paar Minus durch Plus ersetzen. Das mach ich mal:

Berechnen kannst Du das Ding am einfachsten , in dem Du einfach viermal (16=2^4) die binomische Formel
(a+b)² = a² +2ab + b²
als "Umformungsregel" anwendest.

(√2 + 1)^16 = (2 + 1 + 2√2)^8 = (3 + 2√2)^8 =
(9 + 8 + 12√2)^4 = (17 + 12√2)^4 =
(289 + 288 + 408√2)^2 = (577 + 408√2)^2 =
332929 + 332928 + 470832√2 = 665857 + 470832√2

Dies ist eine reelle Zahl die sehr nah an der natürlichen Zahl 
1331714 = 2 * 665857 ist, aber es fehlt eben genau das Ergebnis von 
(√2 - 1)^16  = 665857 - 470832√2 ~ 7,51*10^(-7), denn es gilt:
(√2 + 1)^16 = 665857 + 470832√2 = 
2*665857 - 665857  + 470832√2 =
2*665857 - (665857  - 470832√2) =
2*665857 - (√2 - 1)^16

gummibärchen · Answer

> Wie kriege ich die LÃ¶sung von (â2 + 1)^16 raus ohne Taschenrechner? 
Gar nicht. Oder du bist Genie.
Da kommt raus: etwa 1331714

â2^16 ist kein Problem: Das ist 2^(16/2) = 2^8 =256

Wurzel (2+1)^16 wÃ¤re 3^(16/2) = 3^8 = 6561

Kann ich aber auch nur mit Taschenrechner.

GB

Torsten B · Answer

versuch es mal mit dem Stichwort "Pascalsches Dreieck" ist etwas zeitaufwendiger... siehe etwa hier: http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascaldreieck.htm

PS: ups... zu langsam

ftbln · Answer

1. Du malst dir das Pascalsche Dreieck auf. Eine eins oben, darunter zwei einsen. Jede Zahl ergibt sich durch Addition der beiden Zahlen die Ã¼ber ihr stehen. Zahlen am Rand werden mit der Zahl darÃ¼ber und mit null addiert. nacheinander stehen also drinnen:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
etc.

Hier nochmal grÃ¶Ãer: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Pascal%27s_Triangle_rows_0-16.svg/615px-Pascal%27s_Triangle_rows_0-16.svg.png

2. Das Binom (a+b)Â² ist ausmultipliziert aÂ² + 2ab + bÂ², (a+b)Â³ ist aÂ³ + 3 aÂ²b + 3 abÂ² + bÂ³ usw. Die Potenzen von a in jedem Summanden werden dabei von Summand zu Summand nach rechts immer um eins niedriger, die von b hÃ¶her und das Pascalsche Dreieck sagt dir immer den Vorfaktor (Koeffizient) des einzelnen Summanden. Auf diese weise kannst du ziemlich komfortabel auch hÃ¶here Potenzen von Binomen auf dem Blatt Papier ausrechnen.

3. Wenn du (â2 + 1)^16 wissen willst, musst du in die Zeile schauen, die dir die Vorfaktoren von "hoch 16" verrÃ¤t, das sind 

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

d.h. 
(â2 + 1)^16 = 
1*(â2)^16 + 16 * (â2)^15 * 1 + 120 * (â2)^14 * 1Â² + 560 * â2^13*1Â³ + .... + 120 * (â2)Â² * 1^14 + 16 * (â2) * 1^15 + 1 * (â2)^0 *1^16

was man eigentlich relativ leicht ausrechnen kann, wenn die Potenzen von 2 kennt

Omas Meerschwein · Answer

Ist dir schon einmal aufgefallen, dass die Wurzel aus 1 gleich 1 ist? ;)
Demzufolge steht dann in der Klammer (â2 + â1)^16 oder zusammengefasst: (â3)^16 und das ist meines erachtens genau selbiges wie 3^8!
Und das brauchst du jetzt nur noch im Kopf zu rechnen!
GrÃ¼Ãe

Tobias

Anonym · Answer

also ers ma die wurzel von 2 ausrechnen : 1,414213562
dann 1 addieren : 2,414213562
und dann hoch 16 : 1.331.714


ps. wenn das wurzelzeichen Ã¼ber der 1 UND der 2 ist, dann ist das ergebnis 6561 (wurzel von 3 : 1,731050808; und dann hoch 16)

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