Warum ist 1+1=2 trivial?

gar nicht trivial. Eher dogmatisch ;)

Daran, dass 1+1=2 trivial ist, und dennoch nicht einfach zu beweisen ist, dürfte Bertrand Russell mit schuld sein. Das was dem "gesunden mathematischen Verstand" auf Anhieb einleuchtet, ist eben noch lange nicht bewiesen.

Principia Mathematica

Zusammen mit Alfred North Whitehead schrieb Russell mit den Principia Mathematica eines der wichtigsten Werke mathematischer Grundlagenforschung nach den Erschütterungen der Mathematik Anfang des 20. Jahrhunderts. Ziel der drei Bände umfassenden Principia Mathematica ist es, alle mathematischen Wahrheiten aus einem Satz von Axiomen und Schlussregeln zu konstruieren. Der Schwerpunkt Russells lag auf philosophischen, der Whiteheads auf mathematischen Problemen. Ein vierter Band über die Grundlagen der Geometrie wurde nie vollendet.

Nach dem im Gefängnis verfassten Buch Introduction to Mathematical Philosophy (1919), in dem er hauptsächlich frühere Arbeiten und deren philosophische Bedeutung erklärt, wandte sich Russell von Problemen der Mathematik und Logik ab. Später zeigte Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz die Grenzen jedes Versuches der Axiomatisierung der Mathematik auf.

http://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

Kurt Gödels mathematische Arbeiten haben nicht dazu geführt, dass Trivialitäten nun eben doch wieder als Trivialitäten betrachtet werden, sondern dazu, dass nach wie vor Metamathematik auch zur abstrakten Mathematik dazugehört.

http://de.wikipedia.org/wiki/Metamathematik

Das sind jetzt einige historische Hinweise und keine mathematischen Begründungen, da ich keine Lust habe, die 70 Seiten deines Professors hier nochmals wiederzugeben.

Trivial ist eigentlich kein mathematischer Begriff. Er wird in der Mathematik jedoch aus pragmatischen Gründen akzeptiert, da man nicht jedesmal, wenn man 1+1=2 berechnet, 70 Seiten Beweisführung wiederholen kann.

Hei

Ja, eher dogmatisch - darauf beruht die ganze Mathematik.

Es wird einfach hingenommen, doch der wirkliche Beweis ist nicht vorhanden.

(Die 70 - Seiten -Zahlenspielerei ist kein Beweis...)

mfg

Hallo,

das Folgende soll lediglich ein Gedankenansatz sein- natürlich ohne Anspruch auf mathematische Korrektheit:

Jede natürliche Zahl n, also auch die 1, hat genau einen Nachfolger, nennen wir ihn m. Jetzt kann man definieren: n+1:=m. Salopp ausgedrückt ist also m jene natürliche Zahl, die nach n kommt. Hier suchen wir mit 1+1 also den Nachfolger von 1. Wie sehen die natürlichen Zahlen aus?- So: 1,2,3,4,5,6,... . Also ist 1+1=2.

Hierbei ist entscheidend, dass wir Menschen das so festgelegt haben! Wären z.B. die ersten natürlichen Zahlen 1,4,67,55,3,9, so wäre eben 1+1=4. Aber so sind sie nunmal nicht!

Das ist aber nur die halbe Wahrheit, da es mathematische Strukturen- beispielsweise den Körper, bestehend aus den Elementen 0 und 1- gibt, wo gilt: 1+1=0. In diesem Sinne wird hier die 0 mit der 2 identifiziert, was damit zu tun hat, dass 0 und 2 in derselben Restklasse sind, nämlich jener, die aus Elementen besteht, die beim Teilen durch 2 keinen Rest lassen. Aber das führt wohl schon zu weit....

Bei Interesse such mal nach den Peano- Axiomen...

Grüße

1+1=2 ist im üblichen Zahlenraum trivial, weil es die Grunddefinition der Addition ist. Man nimmt einen Punkt im unendlichen Raum, nennt diesen Punkt 0. Man nimmt dann einen zweiten Punkt, den nennt man 1. Der Abstand zwischen 0 und 1 ist auch 1, daraus folgt dann in einem Raum, dass der Punkt 2, der 1 weiter liegt als 1 von 0 entfernt ist.

Ist doch alles ganz einfach. Oder?

Ist nach Adam Riese nun mal so, darum so einfach ;-)