Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn Beschleunigung und Zeit bekannt sind (nach Relativitätstheorie) ?

In der Mechanik nach Newton gibt es eine absolute Zeit t. Der Ort R eines Teilchens wird als Vektor im kartesischen Raum als Funktion der Zeit t dargestellt R(t) = [ Rx(t) | Ry(t) | Rz(t) ].

Die Geschwindigkeit V eines Teilchens wird dargestellt als Vektor V(t) = [ Vx(t) | Vy(t) | Vz(t) ]. Die Beziehung zwischen den Vektoren ist die Ableitung nach der Zeit t: dR/dt = V.

Die Beschleunigung A eines Teilchens wird dargestellt als Vektor A(t) = [ Ax(t) | Ay(t) | Az(t) ]. Die Beziehung zwischen den Vektoren ist die Ableitung nach der Zeit t: dV/dt = A und d²R/dt² = A.

Ist die Beschleunigung A als Funktion der Zeit t, gegeben kann die Geschwindigkeit durch Integration berechnet werden: V = Integral A dt.

Die Beziehung V = A t ist ein Spezialfall. Die Formel gilt, wenn die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 ist V(0) = [ 0 | 0 | 0 ] und die Beschleunigung A konstant ist, d. h. A(t1) = A(t2).

In der speziellen Relativitätstheorie wird mit einer Raumzeit gearbeitet; es gibt keine besonders ausgezeichnete absolute Zeit. Der dreidimensionale Raum und die eindimensionale Zeit werden zu einer vierdimensionalen Raumzeit, mit der Struktur eines Minkowskiraums, zusammengefasst. Anstelle der Variablen t und des dreidimensionalen Vektors R gibt es den kontravarianten Vierervektor X = [ X0 | X1 | X2 | X3 ] = [ ct | Rx | Ry | Rz ]. Dabei ist c die konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Die Geschwindigkeit U ist ebenfalls ein kontravarianter Vierervektor. Berechnet wird die Geschwindigkeit U aus der Zeitort X:

U = gamma(t) dX/dt

U = gamma(t) [ c | Dx/Dt | Dy/Dt | Dz/Dt ]

dabei sind die D/Dt die partiellen Ableitungen nach der Zeit und gamma der Lorentzfaktor

gamma(t) = 1/Wurzel( 1 - (v/c)² ) und v = Wurzel( (Dx/Dt)² + (Dy/Dt)² + (Dz/Dt)² ). Nur eine Ableitung nach der Zeit dX/dt ergibt keinen kontravarianten Vierervektor. Daher ist der Lorentzfaktor gamma bei der Geschwindigkeitsberechnung notwendig. (Das ist die Ableitung nach der Eigenzeit.)

Die Beschleunigung B ist ebenfalls ein kontravarianter Vierervektor. Berechnet wird die Beschleunigung aus der Geschwindigkeit.

B = gamma(t) dU/dt

B = gamma(t) d/dt ( gamma(t) [ c | Dx/Dt | Dy/Dt | Dz/Dt ] )

B = gamma(t) Dgamma(t)/Dt [ c | Dx/Dt | Dy/Dt | Dz/Dt ] ) + gamma²(t) [ c | D²x/Dt² | D²y/Dt² | D²z/Dt² ] )

Aus der Beschleunigung B ergibt sich die Geschwindigkeit U über Integration entlang des Wegs in der Raumzeit.

Ein Spezialfall: Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0, U(0) = [ 0 | 0 | 0 | 0 ]. Die Körper wird in seinem Ruhesystem mit konstanter Beschleunigung a in Richtung X bewegt.

Im Ruhesystem ist die Beschleunigung B

B = [ 0 | a | 0 | 0 ]

Im Ruhesystem gilt für die Geschwindigkeit U

B = gamma(t) dU/dt

[ 0 | a | 0 | 0 ] = gamma dU/dt

gamma = 1, weil Ruhesystem mit v = 0.

dU/dt = [ 0 | a | 0 | 0 ]

Obwohl die Geschwindigkeit im Raum v im Ruhesystem immer 0 ist, ist dU/dt > 0.

In einem Inertialsystem, das zum Zeitpunkt 0 gleich dem Ruhesystem war, danach aber nicht beschleunigt wird, folgt die Beschleunigung B' des Körpers aus der Lorentztransformation.

B' = L B

mit der Transformationsmatrix L =

[ gamma | -beta gamma | 0 | 0 ]

[ -beta gamma | gamma | 0 | 0 ]

[ 0 | 0 | 1 | 0 ]

[ 0 | 0 | 0 | 1 ]

(dabei ist beta = v / c)

folgt

B' = gamma [ -beta a | a | 0 | 0 ]

Die Beschleunigung B' ist keine Konstante. Zum Startzeitpunkt 0 gilt noch B = [0|a|0|0], weil v = 0 und damit gamma = 1 und beta = 0. Danach wird B' gedreht entsprechend der Geschwindigkeit v.

Für die Geschwindigkeit U' im Inertialsystem gilt:

B' = gamma(t) dU'/dt

Das bereits berechnet B' einsetzen

gamma(t) [ -beta a | a | 0 | 0 ] = gamma(t) dU'/dt

[ -beta a | a | 0 | 0 ] = dU'/dt

mit U' = [ c | 0 | 0 | 0 ] zum Zeitpunkt 0 ergibt diese Gleichung integriert

U' = [ c - Integral beta a dt | a t | 0 | 0 ]

Für die raumähnlichen Koordinaten ergibt sich eine Beziehung v = a t, wie in der Newtonschen Mechanik. Doch hier ist U' ein kontravarianter Vierervektor im Minkowskiraum. Die zeitähnliche Koordinate ändert sich ebenfalls, der Zeitablauf in dem beschleunigten Körper verändert sich.

Für die Beziehung zwischen dem Ort R' und der Geschwindigkeit U' gilt im Inertialsystem:

U' = gamma(t) [ c | Dx'/Dt | Dy'/Dt | Dz'/Dt ]

Das berechnet U' eingesetzt

[ c - Integral beta a dt | a t | 0 | 0 ] = gamma(t) [ c | Dx'/Dt | Dy'/Dt | Dz'/Dt ]

Die drei raumähnlichen Koordinaten getrennt betrachtet:

a t = gamma(t) Dx'/Dt

Dx'/Dt = a t / gamma(t)

Dy'/Dt = 0

Dz'/Dt = 0

Der Betrag der Geschwindigkeit im Raum v' gemessen im Inertialsystem ist

v' = Wurzel( (Dx/Dt)² + (Dy/Dt)² + (Dz/Dt)² )

v' = Wurzel( (Dx/Dt)² )

v' = Dx/Dt

v' = a t / gamma(t)

In der Newtonschen Mechanik fehlt an dieser Stelle der Faktor 1/gamma.

Die Geschwindigkeit v kann aus dem gefundenen Ausdruck noch nicht abgelesen werden, weil der Lorentzfaktor gamma eine Funktion der Geschwindigkeit ist.

gamma = 1 / Wurzel( 1 - v'² / c² )

Einsetzen und Auflösen nach der gesuchten Geschwindigkeit v'

v' = a t / gamma(t)

v' = a t Wurzel( 1 - v'² / c² )

v'² / (a t)² = 1 - v'² / c²

v'² / (a t)² + v'² / c² = 1

v'² ( 1 / (a t)² + 1 / c² ) = 1

v'² ( (a t)² + c² ) / (a t)² c² = 1

v'² = (a t)² c² / ( (a t)² + c² )

v'² = (a t)² / ( (a t)²/c² + c²/c² )

v'² = (a t)² / ( 1 + (a t)²/c² )

v' = a t / Wurzel( 1 + (a t)²/c² )

Wird der Körper eine sehr lange Zeit mit a = konstant in seinem Ruhesystem beschleunigt, dann geht die Geschwindigkeit im Raum v' im Inertialsystem gegen

v' = a t / Wurzel( (a t)²/c² )

v' = a t / ( a t/c )

v' = c

Die räumliche Geschwindigkeit im Inertialsystem v' geht gegen c. Die Geschwindigkeit c wird nie erreicht, obwohl der Körper in seinem Ruhesystem konstant mit a beschleunigt wird.

die beschleunigung ist die zeitliche änderung der geschwindigkeit:

a = dv/dt

v2-v1 = dv = int(a)dt

(DAS ist übrigens klassisch gesehen)

Was du also daraus nur berechnen kannst inst der Geschiwndigkeitsunterschied, nicht die Geschwindigkeit die das Objekt in den moment wirklich hat ...

die gesamtgeschiwnidikeit ergibt sich dann aus:

v = v0 + dv

v0 ist die bekannte Geschwindigkeit bevor das Objekt beschleunigt wurde. (diese kann mit v1 überein stimmen, muss es aber nicht)

In Grunde fehlt ein Wert um deine Aufgabe zu lösen.

Wenn du das ganze relativstisch betrachten willst musst du in Grunde jedes v durch:

v / Wurzel(1-v²/c²)

ersetzen.

Die ausdrücke werden dann entsprechend komplizierter.

ausserdem hast du nicht gesagt in welchen inertialsystem du dich befindest.

bewegst du dich mit den Objekt mit?

Bewegt sich das Objekt durch dein inertialsystem?

Das sind für den Rechenweg entscheidende Fragen ...

Nebenbei: Jedes inertialsystem ruht ... alles andere sind nur Bezugssyteme. ;)