Darf ich eine Fortbildung machen, während ich Krankengeld beziehe?

Ob erlaubt oder nicht. Grundsätzlich solltest Du diese Frage mit Deinem Arzt, Deinem Arbeitgeber und mit der Krankenkasse besprechen. Da hier keine Angabe zum längerfristigen Grund der Arbeitsunfähigkeit gemacht wurde, ist eine pauschale Antwort nicht möglich. Es kann durchaus sein, dass eine solche Fortbildung sehr positiv auf die Erkrankung auswirken kann (allein schon aus dem Grund, weil man unter Menschen kommt!) Also, bespreche das mit den eingangs erwähnten Entscheidungsträgern und Deine Frage hat sich sicherlich schon von allein beantwortet.

würd auch sagen, mit Arzt und versicherung besprechen

Nur privat, nicht offiziell.

Nein, das ist nicht erlaubt, zwar löblich, aber verboten. Entweder Du bist krank oder nicht. Du kannst Dich zu Hause privat fortbilden und dann nach der AU das offiziell nachholen.