Periodische Dezimalzahlen?

Alle Zahlen, die man als gemeine Brüche ganzer Zahlen darstellen kann, sind rationale Zahlen.

Eine einfache Möglichkeit, periodische Brüche als gemeine Brüche darzustellen ist die folgende:

Zuerst musst Du sehen, wie viele Stellen die Periode hat.

Beispiel 1:

Eine einstellige Periode

0,22222222222222... (periode)

1 x 0,222222222222...... = 0,222222222222222222....

10 x 0,22222222222....... = 2,22222222222222222....

Und jetzt rechnest Du:

10 x 0,22222222222222........... = 2,2222222222....

minus

1 x 0,22222222222222............. = 0,22222222222....

_______________________________________

9 x 0,22222222222222.... = 2

also:

0,22222222222222... = 2/9

Mach die Gegenprobe; es stimmt!

Beispiel 2

zweistellige Perioden

0,73737373......(Periode 73)

100 x 0, 737373737373... = 73,73737373................

(Tippfehler korrigiert. Danke, matherwig!)

minus

1 x 0,7373737373.......... = 0,73737373....

_______________________________________

99 x 0,7373737373.... = 73

also:

0,7373737373..... = 73/99

Bei dreistelligen Perioden rechnest Du das 999-fache aus usw.

Und nun mit 0,99999999999999999999...........

10 x 0,99999999999999999999999... = 9,9999999999999999.........

minus

1 x 0,999999999999999999............... = 0,999999999999999.......

________________________________________________________

9 x 0,999999999999999.............. = 9

also

0,999999999999999............... = 9/9 = 1

@matherwig

Erst mal: Danke für den Hinweis mit dem Tippfehler!

Zweitens: Das mit der Vorperiode spielt keine Rolle. Wesentlich ist nur, die Anzahl der Stellen bei der Periode, also beispielsweise:

0,34555555.... (periode5) hat eine einstellige Periode, also:

10 x 0, 345555 .... = 3,45555555...

minus

1x 0,3455555.... = 0,3455555...

____________________________

9 x 0,345555... = 3,11 | : 9

0,34555... = 3,11 / 9 = 311 / 900

usw.

Ja, alle periodischen Dezimalzahlen sind rational.

o^9=o Denn null mal null bleibt null!

Beispeil: 1/3= 0,3Periode.

Es gibt keine allgemeine Regel zur Aufstellung von den Brüchen.

Was jetzt noch fehlt, sind die gemischt periodischen Dezimalzahlen. Die rein periodischen hat ja Wurzelgnom bereits ausführlich behandelt.

Eine gemischt periodische Dezimalzahl hat nach dem Komma zuerst eine Vorperiode und dann noch die Periode.

Beispiel: 0,251343434343434....

also Vorperiode 251 und Periode 34

Um eine solche Dezimalzahl in einen Bruch umzurechnen, müssen wir zuerst die Vorperiode "wegbringen".

Wir multiplzieren also zuerst mit 10, wenn die Vorperiode 1 Stelle hat, mit 100, wenn die Vorperiode 2 Stellen hat usw.

Dann läuft es genau so wie bei den rein periodischen Dezimalzahlen.

Beispiel:

x = 0,1234545454545.. mit 1000 multiplizieren, weil Vorperiode dreistellig

1000x = 123,4545454545... jetzt noch einmal mit 100 multiplizieren, weil Periode zweistellig

100000x = 12345,45454545....

Nun subtrahieren:

100000x - 1000x = 12345 - 123 (Kommastellen fallen ja weg)

99000x = 12222

x = 12222/99000 (und jetzt eventuell noch kürzen: x = 679/5500)

Probe durch Division

@ Wurzelgnom:

Du hast bei deinem zweiten Beispiel einen Tippfehler: Du multiplizierst zwar mit 100, schreibst aber nur 10 an.

Natürlich kann ich das auch so rechnen, wie du sagst, aber ich hasse Dezimalzahlen im Zähler oder Nenner eines Bruches.

Außerdem sind deine und meine Methode ohnehin identisch, nur multiplizierst du eben am Schluss und ich am Anfang.

Hallo!

Wenn die Aussage: (1/n)*n=1 zutrifft dann soll auch

(1/n+1)*(n+1)=1 ebenfalls zutreffen.

Für n=1 trifft die Aussage zu.

Jetzt musst Du noch beweisen, dass (1/n+1)*(n+1)=(1/n)*n ist.

So jedenfalls habe ich diese Aufgabe verstanden.

Auf dem Papier lässt sich der Beweis sicherlich sehr leicht durchführen, auf der Schreibmaschine, die sich Computer nennt, muss ich zusehr Obacht geben, dass ich keinen Mist schreibe. Also überlasse ich diesen Teil Dir!

Habe ich vergessen: Natürlich ist n eine natürliche Zahl.

Ich habe gerade gesehen: Die Aufgabe ist vielleicht noch einfacher zu lösen: Da sich alle periodischen Zahlen durch einen Bruch ausdrücken lassen, sind sie logischer Weise auch rationale Zahlen.

Da gibt es eine Formel: 0,333...=

Anfangsglied, also 3/10 geteilt durch

1- Folgeglied / Anfangsglied, also 1- 3/100/3/10 (blöd geschrieben), folgt (3/10)/(9/10)=1/3

ad 1) ja

ad 2) 0, Periode 9 ist 1, also 1/1, oder n/n

0,9(periode) = 9/9 = 1

und ja, alle periodischen Zahlen sind als Brüche darstellbar

absolut