Wer kann mir einen Rechenweg erklären? (Pyramidenstumpf)?

Der Einfachheit halber betrachte ich mal quadratische Pyramiden. Deren Grundflächen sind

G1=a1²

bzw

G2=a2²

Die Strahlensätze besagen, dass die Strecken im gleichen Verhältnis sind also

a1/a2= (h+x)/x

Das Ganze quadriert ergibt

(h+x)²/x²=a1²/a2²=G1/G2

Für eine beliebige Fläche gilt, wenn ich eine Länge um den Faktor s vergrößere, vergröße ich die Fläche um s², Folglich git obige Überlegung für alle Pyramiden.

Bei der nächsten Gleichung fehlt ein h

Du kannst aus den Strahlensätzen auf folgern

x/h= a2/(a1-a2)=Wurzel(G2)/(Wurzel(G1)-Wurzel(G2))

dann ist

x= a2/(a1-a2)= Wurzel(G2)/(Wurzel(G1)-Wurzel(G2)) * h

Von der Anschauung kann Die von Dir angegebene Formel nicht Stimmen, denn wenn ich die beiden Flächen dichter zueineder "presse" muss ich auch das x ändern.

Nachtrag zum Fünfeck:

Unter http://de.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCnfeck ist eine Flächengerechnungsformel für des regelmäßige Fünfeck angegeben: Die hat die Form

A= a² * m

mit m=Wurzel(25+10 Wurzel(5))/4

Wenn Du das Flächenverhältnis bildest, kürzt sich das m raus. Es aädert sich nix. Bei den Strahlensätzen hast du immer das Prinzip gross zu klein = gross zu klein. Ob man da die Kantenlängen eines Quadrats oder einer andere Fläche nimmt spielt keine Rolle. Selbst bei einem unregelmässigen Fünfeck, bei dem Du die Fläche über die Summe von 5 Dreiecken berechnest, kannst Du dir irgendeine beliebige Kante a1. Alle anderen Kanten und Höhen der Dreieck stellst du als Vielfache von a1 dar. So ist z.B die Höhe des ersten Dreieck h1=m1*a1. Die Fläche dieses Dreckes wird dann zu a1 h1/2 = a1^2 k1/2. Für das 2. Dreieck mit der Grunlinie a2 und der Höhe h2 führst ebenfals Multiplikatoren z.B a2=m2 a1 und h2= k2 a1. die Fläche diese Dreicks wäre dann a1² m2 k2/2 usw. Als Fläche erhälst Du dann

a1² *(k1+m2 k2+ m3 k3 +m4 k4 + m5 k5)/2

Diese Summe/2 kürzt sich bei der Verhältnisbildung wieder raus, Es änderst sich nichts an den Formeln.

Das ist vermutlich etwas zu abstrakt. Vielleich eine andere Erklärung. Wenn ich eine beilebige Fläche berechnen und messe die Kanten, Umfänge, Durchmesser in m dann ist die Fläche sagen wir mal z.B. 5 m² groß. Hätte wir in dm gemessen, wäre die Fläche 500 dm² groß. Aus dem zehnfachen der Maßzahl für die Länge, wird das 100fache der Maßzahl der Fläche. Also wachsen Fläche immer im Quadrat zu den Längen.

Falls noch etwas unklar ist, kannst Du mir gerne eine Mail mit einer Maildaresse an die ich Scans schicken kann und ich schicke Dir eine Skizze, die dann hoffentlich mehr sagt als tausend Worte

Pyramidenstumpf = große Pyramide minus kleine Pyramide.

Die große Pyramide (Höhe h+x) hat eine Grundfläche G1, die kleine Pyramide (Höhe x) hat eine Grundfläche G2.

Das Volumen der großen Pyramide ist

V1 = 1/3 * G1 * (h+x) = 1/3*G1*h + 1/3*G1*x

Das Volumen der kleinen Pyramide ist

V2 = 1/3 * G2 * x

Das Volumen des Stumpfes ist also

V=V1-V2 = 1/3*G1*h + 1/3*G1*x -1/3*G2*x

= 1/3*G1*h + 1/3*(G1-G2)*x

In der Regel sind G1 und G2 sowie h angegeben, es bleiben also noch zwei Unbekannte übrig. Wenn du also x herausbekommst, kannst du das Volumen berechnen.

Um auf x zu kommen, brauchst du tatsächlich den Strahlensatz.

Der Grund für das Quadrat ist einfach: der Tangens eines Winkels darf keine Einheit haben, muss also dimensionslos sein. Das gilt bei Raumwinkeln ebenso wie bei ebenen Winkeln. Demnach hast du tan (Alpha) = Gegenfläche / "irgendwas mit Höhe". Da die Fläche die Einheit m² oder cm² hat, muss der Nenner des Bruches auch diese Einheit haben, damit sich die Einheit wegkürzt. Folglich muss man quadrieren...

Wie man nun von deiner oberen Gleichung auf deine untere Gleichung kommt, ist auch nicht kompliziert, du musst nur nach x auflösen.

G1/G2 = (h+x)²/x²

=> G1*x² = (h+x)²*G2 = (h²+2hx+x²)*G2

=> G1*x² = G2*h² + 2h*G2*x + G2*x²

=> (G1-G2)*x² - 2h*G2*x - G2*h² = 0

Jetzt noch durch den Vorfaktor von dem x² teilen und dann die p-q-Formel anwenden.

Als Ergebnis erhältst du x als Funktion von h und kannst es oben einsetzen, und du kannst das Volumen berechnen, ohne x tatsächlich zu kennen :)

Die Grundfläche und die Deckelfläche deines Pyramidenstumpfes sind quadratisch.

Wenn Du jetzt die Höhe des Stumpfes mit der Höhe der Ergänzungspyramide addierst und das ganze hoch zwei nimmst, erhälst Du den Flächeninhalt der gesamten Pyramide.

Das ganze wird dann noch einmal durch die mit sich selbst multiplizierte Höhe der Ergänzungspyramide geteilt, um den Flächeninhalt der Oberfläche des Pyramidenstumpfes zu erhalten. Dann hast Du zumindestens einmal den Flächeninhalt des Pyramidenstumpfes

Die vier Seiten eines Pyramidenstumpfes gleichen übrigens einem Trapez während der untere Teil, die Grundfläche und der obere Teil, die Deckelfläche jeweils ein Quadrat ergeben.

Nun überlege, wie Du die Fläche eines Trapezes errechnen kannst. Soweit ich in der RS mal gelernt habe, kann man die Fläche eines Trapezes ausrechnen, indem man von der oberen kürzeren Seite her einen Strich zieht, nach unten hin zu der unteren Linie die dort in einem 90°-Winkel aufsetzt. Das Dreieck, welches dabei entsteht wird weggestrichen und an der anderen Seite des Trapezes wieder drangesetzt. Das ganze ergibt dann ein Quadrat oder gegebenenfalls eventuell auch ein Rechteck. Jedenfalls kannst Du auf diese Weise durch das errechnen von den Quadraten den Flächeninhalt errechnen und indem Du eben dann den Flächeninhalt mit der Seite des einzelnen Quadrates multiplizierst auch wiederum den Rauminhalt eines Würfels, bzw. einer Pyramide mit den von Dir angegebenen Massen.

Allerdings musst Du halt um den Pyramidenstumpf auszurechnen eben die Fläche und den Rauminhalt der Pyramidenspitze abziehen.

Einfacher wäre es zu erklären, wenn man hier die entsprechenden Dinge, die Du berücksichtigen musst per Zeichnung erklären könnte, das würde mir dann vermutlich nicht so schwer fallen, wie das, was Du zu rechnen hast in Worte zu fassen... :O( Da vergesse ich dann blöderweise manchmal schon mal irgendwas zu erwähnen, weil ich schneller denke, als ich schreiben kann... Sorry, also, wenns fehlerhaft rüberkommt, was ich erklären wollte.