Ist der Logarithmus aus negativen Zahlen uninteressant?

Question

Halli hallo,

mir ist aufgefallen, dass die komplexen Zahlen immer wunderbar dafür gelobt werden, dass man mit ihrer Hilfe Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann.

Aber mir ist aufgefallen, dass man mit ihrer Hilfe auch Wunderbar mit negativen und allen anderen komplexen Zahlen logarithmieren kann!

Z = r * e^(phi * i); 

mit Z € C; r € R+&#92;{0}; i^2 = (-1); phi [0; 2pi[

ln(Z) = ln(r * e^(phi * i)) = ln(r) + phi * i;


Also beispielsweise (-10) wäre als komplexe Zahl:

-10 = 10 * e^(pi * i);

ln(-10) = ln(10) + pi * i;

Und gleichzeitig zeigt es auch, dass man komplexe Zahlen als Exponenten einsetzen kann, denn der Logarithmus ist ja eine. darum geht es mir aber gerade nicht.

Meine Frage ist, warum das so ein bisschen unterbuttert wird, ich habe noch nie irgendwo von solchen Rechnungen gelesen oder gehört. 

Ist logarithmieren in C so uninteressant im Gegensatz zum radizieren?

Wonko der Verständige · Accepted Answer

Nein!

e^(i*pi)=-1 stellt eine fundamentale Beziehung zwischen den elementaren Konstanten e und pi her. Diese ist nur im Rahmen eines erweiterten Verständnis der Funktionentheorie erklärbar. Deine Mehrdeutigkeiten lösen sich vor diesem Hitnergrund auch auf, lies bitte z.B. Vieweg Studium, Analysis 3, Otto Forster.

Ehrlichgesagt bin ich von dieser Frage von Dir ein wenig enttäuscht ... Aber nur ein wenig ;)

werner w · Answer

Hallo!
Dein Standpunkt gefÃ¤llt mir! Wenn Du dir das Gegenteil bewiesen hast und dann doch beweisst, dass Du recht hast, dann hast  Du sehr gute Arbeit geleistet!

Olaf · Answer

ZunÃ¤chst einmal ist der Logarithmus Ã¼ber den komplexen Zahlen ohne 0 nicht eindeutig, weil exp(z*2*pi*i+c)=exp(c), fÃ¼r jedes c aus C und jedes z aus Z und der Logarithmus die Umkehr"funktion" (letzteres eben nicht) von exp ist.

Man kann allerdings eine komplexe Mannigfaltigkeit definieren, Ã¼ber der log eindeutig wÃ¤re. Die sÃ¤he in etwa so aus wie eine Schraube, nur daÃ diese Schraube unendlich breit und unendlich lang wÃ¤re, in beide Richtungen.

Nun, die Frage stellt sich aber sowieso, wozu der Logarithmus gut ist. Und da er mathematisch gesehen eher von untergeordnetem Interesse ist, ist man auch nicht an seiner Erweiterung interessiert. Der Grund dafÃ¼r ist, daÃ die Exponentialfunktion dieselben Informationen enthÃ¤lt wie der Logarithmus, aber in einer "handlicheren" Version.

Anonym · Answer

Ich weiÃ, warum du mÃ¼de bist! Schlaf schÃ¶n >:D<

Cornelia · Answer

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus fÃ¼r Null und negative Zahlen nicht definiert.


BegrÃ¼ndungen
x = loga0 mÃ¼sste dann 0 = ax bedeuten. Ist a ungleich Null, ist dies jedoch fÃ¼r kein reelles x lÃ¶sbar. 
(als Beispiel die negative Zahl â1) x = loga( â 1) mÃ¼sste dann â 1 = ax bedeuten. Dies ist ebenfalls fÃ¼r keine reelle Zahl x mÃ¶glich, wenn a grÃ¶Ãer Null ist. 
In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch fÃ¼r negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr. Auch in diesem Zusammenhang ist 0 keine isolierte SingularitÃ¤t sondern ein Verzweigungspunkt.

Ist der Logarithmus aus negativen Zahlen uninteressant?

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