C'est quoi la relation entre f' et f'' (f seconde) ?

Prends l'exemple que j'espère familier où y=f(t) représente la position d'un mobile sur un axe.

y ' (t) représente sa vitesse v : v > 0 si on va dans le sens de l'axe , v <0 dans le cas contraire.

y ' ' (t) représente l'accélération. Si v > 0 , y " > 0 signifie que v augmente , si y" <0 , c'est qu'on freine.

Les signes de y , y ' , y" peuvent être + ou - indépendamment les uns des autres

Ou bien imagine la représentation graphique de la fonction f.

f' est la pente de la tangeante.

le signe de f" dit si la courbe , au point considéré , est concave vers le haut ou vers le bas.

quand f'' est négative f' est décroissante

quand f'' est positive f' et croissante

L'inverse est vrai ==> f' est croissante ==> f'' est positive

c'est un principe de base des dérivés

non, ca n'a rien a voir, en réalité la relation entre f' et f'' est une relation de dérivation cad que f'' nous renseigne sur la manière de comportement du f'. Si f' croît la sa dérivée sera positive quelque soit le signe de f' et vise versa. ( comme si vous avez une fonction g et g')

F(x) = 5 x² - 4x + 8

F1(x) = 10 x - 4

F2(x) = 10

Alors dans cet exemple F2(x) est toujours positive, F1(x) est positive quand x > - 4/10.

Donc on ne peut pas dire qu' il y a une relation d'¨être positive ou négative. Un autre exemple peut être tout différent.

Le signe de la dérivée ne renseigne que sur le sens de la variation de la fonction d'origine.

Une fonction peut être croissante (dérivée positive) ou décroissante (dérivée négative), en étant elle-même négative ou positive.

Par exemple :

f(x)=x^-2 est toujours négative, et a comme dérivée f'(x)=-2x, qui est positive de - l'infini à 0, et négative de 0 à + l'infini.

Et f(x)=x^2 est toujours positive, avec une dérivée négative ou positive selon x<0 ou x>0.