KniffeligeMathe Aufgabe; Kugel in einer Pyramide - Vektorrechnung. 10P?

Der Mittelpunkt der Inkugel muss zu allen begrenzenden Ebenen den gleichen Abstand haben, daher muss er jeweils auf der winkelhalbierenden Ebene zu je 2 Seitenebenen liegen.

Da 3 der Seitenebenen mit den orthogonalen Koordinatenebenen übereinstimmen, muss M auf der Geraden (t ; t ; t) liegen mit dem Abstand t zu jeder Koordinatenebene. t ist daher gleichzeitig der Radius der Inkugel.

Die 4. Ebene hat die Richtungsvektoren (0;-2;6) (4;-2;0) somit ist n=(-3;-6;-2) eine Normale mit ||n||=Wurzel(9+36+4)=7.

Das ergibt die HNF (-1/7)(3x+6y+2z -12)=0

(t ; t ; t) hat von dieser Ebene den Abstand (-1/7)(11t -12) der gleich t sein muss.

(-1/7)(11t -12) = t <=> 11t-12=-7t <=> t=12/18=2/3

Also ist M(2/3;2/3;2/3) der Mittelpunkt der Inkugel mit dem Radius t=2/3.

ich verwende [] für vectorform

zuerst finde ich die einheitsvectoren von drei kanten ausgehend von ein punkt z.B. punkt B

[BA] = [A] - [B] = [0,0,0] - [4,0,0] = [-4,0,0]

[BA]° = [-1,0,0]

[BC] = [C] - [B] = [0,2,0] - [4,0,0] = [2,-4,0]

|BC| = √(16+4) = √20

[BC]° = 1/√20 * [-4,2,0] = 1/√5 * [-1,2,0]

[BD] = [D] - [B] = [0,0,6] - [4,0,0] = [6,0,-4]

|BC| = √(36+16) = √52 = 2√13

[BC]° = 1/2√13 * [6,0,-4] = 1/√13 * [3,0,-2]

1/3 ( [BA]° + [BC]° + [BD]° ) = [WB]

das heisst das ist die richtungsvector für die raumwinkelhalbiernde aus punkt B. (eigentlich 1/3 kann man auch weglassen )

und O liegt auf grade

g1 :[x] = [B] + r [WB]

nochmal das selbe für ein zweite punkt z.B. punkt A

dann schnittpunkt berechnen

Der Ballon ist eine Kugel. Der Mittelpunkt soll M sein, der Radius R.

Alle Punkte der Ballonhülle haben den Abstand R zum Mittelpunkt M. Eine Ebene, die den Ballon berührt hat ebenfalls den Abstand R zum Mittelpunkt M.

Die Pyramide hat vier Seiten. Der Ballon berührt alle vier Seiten. Also hat der Mittelpunkt M von allen Seiten den Abstand R.

Die vier Seiten der Pyramide sind Ebenen. Zu jeder Ebene sind drei Punkte gegeben. Für die Abstandsberechnung ist es einfacher die Ebene in der Hesseschen Normalenform zu haben. Also aufstellen der Normalenform für alle vier Ebenen.

Seite ABC

P1 = A

P1 = ( 0 0 0 )

Zwei Richtungsvektoren in der Ebene

B - A = (4 0 0)

C - A = (0 2 0)

Vektor senkrecht auf der Ebene über das Kreuzprodukt berechnen

(B-A) x (C-A) = (0 0 8)

Vektor auf Länge 1 normieren

N1 = (0 0 1)

Damit ist die Seite ABC in Normalform

0 = X*N1 - P1*N1

0 = X * (0 0 1)

Seite ACD

P2 = A

P2 = ( 0 0 0 )

Zwei Richtungsvektoren in der Ebene

C - A = (0 2 0)

D - A = (0 0 6)

Vektor senkrecht auf der Ebene über das Kreuzprodukt berechnen

(C-A) x (D-A) = (12 0 0)

Vektor auf Länge 1 normieren

N2 = (1 0 0)

Damit ist die Seite ACD in Normalform

0 = X*N2 - P2*N2

0 = X * (1 0 0)

Seite ABD

P3 = A

P3 = ( 0 0 0 )

Zwei Richtungsvektoren in der Ebene

D - A = (0 0 6)

B - A = (4 0 0)

Vektor senkrecht auf der Ebene über das Kreuzprodukt berechnen

(D-A) x (B-A) = (0 24 0)

Vektor auf Länge 1 normieren

N3 = (0 1 0)

Damit ist die Seite ABD in Normalform

0 = X*N3 - P3*N3

0 = X * (0 1 0)

Seite CBD

P4 = C

P4 = ( 0 2 0 )

Zwei Richtungsvektoren in der Ebene

B - C = (4 -2 0)

D - C = (0 -2 6)

Vektor senkrecht auf der Ebene über das Kreuzprodukt berechnen

(B-C) x (D-C) = (-12 -24 -8)

Vektor auf Länge 1 normieren

N4 = (-3/7 -6/7 -2/7)

Damit ist die Seite CBD in Normalform

0 = X*N4 - P4*N4

0 = X * (-3/7 -6/7 -2/7) + 12/7

Der Punkt M hat Abstand R zu allen vier Ebenen. Den Punkt M in die Normalformen eingesetzt ergibt nicht 0, sondern +R oder -R. Mit einer kleinen Skizze kann man das Vorzeichen bestimmen, weil der Mittelpunkt M im inneren der Pyramide liegen muss.

R = M * (0 0 1)

R = M * (1 0 0)

R = M * (0 1 0)

R = M * (-3/7 -6/7 -2/7) + 12/7

Mit M = (x,y,z) schreiben sich die Gleichungen

R = z

R = x

R = y

R = -3x/7 - 6y/7 - 2z/7 + 12/7

x = R

y = R

z = R

R = -3R/7 - 6R/7 - 2R/7 + 12/7

R ( 1 + 3/7 + 6/7 + 2/7 ) = 12/7

R = 2/3

Der Mittelpunkt des Ballons ist (2/3 2/3 2/3). Der Radius ist 2/3.