Eine kleine Polynomen-Knobelei?

Zwei Nullstellen unterscheiden sich durch das Vorzeichen, es gibt zwei weitere Nullstellen bei einem Polynom von Grad 4. Dazu ist der Faktor vor dem x^4 eins. Das Polynom hat also die Darstellung

p(x) = ( x + a ) ( x - a ) ( x - b ) ( x - c )

Mit den Nulstellen a, -a, b, c.

p(x) = ( x + a ) ( x - a ) ( x - b ) ( x - c )

= ( x² - a² ) ( x² - (b+c) x + bc )

= ( x**4 - (b+c) x³ + bc x² ) - ( a² x² - a²(b+c) x + a²bc )

= x**4 - (b+c) x³ + ( bc-a² ) x² + a²(b+c) x - a²bc

Diese Form mit dem gegeben Polynom vergleichen

p(x) = x^4 - 4x³ + 3x² + 8x - 10

Gleiche Potenzen von x müssen den gleichen Faktor haben

(0.) - a²bc = -10

(1.) a²(b+c) = 8

(2.) bc-a² = 3

(3.) - (b+c) = -4

Aus (1.) und (3.) folgt a² = 2. Die beiden Nullstellen mit verschiedenem Vorzeichen sind also a = +Wurzel(2) und a = -Wurzel(2).

b und c aus den restlichen Gleichungen bestimmen

(2.) bc-a² = 3

(3.) - (b+c) = -4

bc-2 = 3

b+c = 4

(4-c) c - 2 = 3

4c - c² - 2 = 3

- c² + 4c = 5

c² - 4c = -5

( c - 2 )² = -5 + 4

c = 2 ± Wurzel( -1 )

c = 2 ± i

b = 4 - c = 2 ± i

Die anderen beiden Nullstellen sind 2+i und 2-i.

Das Polynom hat die Nullstellen Wurzel(2), -Wurzel(2), 2+i und 2-i.

a, -a , b und c sind die lösungen.

( x-a ) (x+a) (x-b) (x-c) =0

(x² - a² ) [ x² -(b+c)x + bc] =0

x^4 - x³ (b+c) + x²bc +

................... - x²a² + x a²(b+c) - a²bc = 0

---------------------------------------------------------------

x^4 - x³ (b+c) + x² (bc-a²) + x a²(b+c) - a²bc = 0

somit b+c=4

und a² (b+c) = 8

dann a² = 2

und a=√2 und a=-√2

die angaben von 3 und -10 hättest du gar nicht geben brauchen ;)

die lösungen sind auf jeden fall wurzel 2 und -wurzel 2

es könnte rein theoretisch 4 lösungen geben aber war jetzt zu faul zu prüfen ob das so is

drauf gekommen bin ich erst durch probieren der teiler des absolutglieds...hat aber nix gebracht dann hab ich überlegt was es bedeutet wenn 2 lösungen vom betrag her gleich sind

einfluss darauf ham nur die -4x³ und 8x weil die andren halt vom vorzeichen zahlen unabhängig sind

dann sacht ich mir halt die müssten gleich groß sein um sich auf zu heben und hab 4x³=8x gesetzt das is x²=2 und da kam wurzel 2 raus...

frag mich nich ob man das so machen darf aber wenn mein taschenrechner nich versagt kommt dann 0 raus

mfg basti

(und all das hab ich nur gemacht weil mein cs dank steam nich mehr geht und mir langweilig ist..)

Zu P4: Hört sich gut an, bis auf, wenn ich das richtig verstehe, aus

a^2(b+c)=8 und -(b+c)=-4 sich doch a=2 ergibt.

Unabhängig von der Zusatzinformation lässt sich die Gleichung mit geringem Aufwand numerisch lösen - wozu hat man heute leistungsfähige Rechenknechte :-)

Es ist eine einfache Gleichung, aber mir ist der Wert des Quadrats zwischen des ersten x und der 4 auch mit Lupe nicht definierbar. nehme ich es als Unbekannte, komme ich immer auf die Zahl +7, ein - ist dann nicht möglich, wenn es ein konkreter Wert sein sollte dann >1! In sich logisch, denn sonst in der Aufgabenstellung sinnlos!

Also ich schreibe mal meine ersten Gedanken hinein, bin aber zu müde, sie jetzt zu Ende zu führen, das müsste später erfolgen.

Es gilt:

X^4 - X^3 * 4 + X^2 * 3 + X * 8 - 10 = (X - X1) * (X - X2) * (X - X3) * (X - X4) = (X^2 - X*X2 - X*X1 + X1*X2)*(X^2 - X*X4 - X*X3 + X3*X4) = X^4 - (X^3)*X4 - (X^3)*X3 + (X^2)*X3*X4 - (X^3)*X2 + (X^2)*X2*X4 + (X^2)*X2*X3 - X*X2*X3*X4 - (X^3)*X1 + (X^2)*X1*X4 + (X^2)*X1*X3 - X*X1*X3*X4 + (X^2)*X1*X2 - X*X1*X2*X4 - X*X1*X2*X3 + X1*X2*X3*X4 = X^4 - X^3 * (X4 + X3 + X2 + X1) + X^2 * (X3*X4 + X2*X4 + X2*X3 + X1*X4 + X1*X3 + X1*X2) - X * (X2*X3*X4 + X1*X3*X4 + X1*X2*X4 + X1*X2*X3) + X1*X2*X3*X4

(Ich hoffe ich habe mich nirgendwo verschrieben, vertan)

Also:

4 = X4 + X3 + X2 + X1

3 = X1*X2 + X1*X3 + X1*X4 + X2*X3 + X2*X4 + X3*X4

(-8) = X1*X2*X3 + X1*X2*X4 + X1*X3*X4 + X2*X3*X4

(-10) = X1*X2*X3*X4

Ähm so... das bringt mich noch nicht weiter, aber ich lasse es schonmal stehen, war nämlich ganz schön Arbeit...

Bis später (ich geh pennen)