Kreisfläche durch Integrieren?

Hi letzte Mahnung,

wenn Du die Fläche des Kreises mit Radius R mit Polarkoordinaten berechnen willst, dann ist zwar R konstant, aber du brauchst die Variable r mit Werten zwischen Null und R.

Mit den Polarkoordinaten x(r,φ)= r cos φ und y(r,φ)= r sin φ

0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ φ < 2π

ergibt sich die Jacobische (zeilenweise) zu

J = ( cos φ . . –r sin φ; sin φ . . r cos φ) und det J = r(cos² + sin²) = r

Somit

A = ∫(0 bis 2π) ∫(0 bis R) det(J) dr dφ = ∫(0 bis 2π) ∫(0 bis R) r dr dφ

= [ ∫(0 bis 2π) dφ ] * [ ∫(0 bis R) r dr ] = 2π R²/2 = π R²

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Sag bitte Bescheid, wenn die Sonderzeichen bei Dir nicht richtig dargestellt werden.

Grüße von Cardano.

Das Flächenelement folgt über die Funktionaldeterminante und lautet entgegen Deiner Angabe nicht dr d(Phi) sondern r dr d(Phi).

Weitere Infos dazu unter http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Fl.C... .

Setzt Du das richtige Flächenelement ein, transformierst Du also Deine Koordinaten richtig, so folgt auch die Fläche des Kreises mit Pi r^2.

Grüße Boson

Integration durch Substitution:

Integral y(x) dx = Integral y(ф) (dx / dф) dф

Hier ist sin ф = y/r, also y(ф) = r sin ф

und cos ф = x/r, also x = r cos ф

dx/dф = - r sin ф

Für einen Viertelkreis wäre das das Integral in den Grenzen von п/2 bis 0

Ziehen wir das Minuszeichen vor und vertauschen die Grenzen, ergibt sich für den Viertelkreis:

A = r² Integral von 0 bis п/2 über sin²ф dф

Nebenrechnung für Integral sin²x dx:

Geht partiell:

u = sin x , u' = cos x

v' = sinx , v = - cos x

Also: Integral sin²x dx = - sin x cos x + Integral cos² x dx

Setzt man jetzt für cos²x = 1 - sin²x, ergibt sich:

= - sinx cos x + Intergal ( 1) dx - Integral sin²x dx

Jetzt auf beiden Seiten Intergral sin²x dx addieren, anschließend durch 2 teilen und wir erhalten:

Integral sin²x dx = (x - sinxcosx)/2 + C

Und jetzt r² [ (x - sinxcox)/2] in den Grenzen von 0 bis п/2 ergibt 1/4 п r² für den Viertelkreis, also

A = п r²

für den ganzen Kreis.