Zifferngleichung?

Hier ist eine Lösung mit Fallunterscheidung

(Das ist zwar nicht sonderlich elegant, führt aber erstmal zu einer Lösung)

Eine alternative und viel hübschere Lösung habe ich unten angefügt.

Ich nenne die Zahlen der Reihenfolge nach x, y und z. (x*y=z)

Da z nur 2 Stellen mehr als x hat muss ac<10 gelten

und da ab auf b endet sind für (a| b | c) ausser den Kombinationen mit b=0 und a=1 nur

(3|5|1,2) (6|2,4,8|1) (7|5|1) und (9|5|1) möglich.

Wenn ich von x den den oberen Teil abschneide und nur 4 Stellen verwende, dann muss das Produkt mit "dbdb" enden.

Dabei ist d=( bc+a²+(ab-b)/10 ) mod 10 und ab mod 10=b

Analog folgen die Bedingungen

(i) (bc+ac +a² +(bc+a²-d)/10+(ab-b)/100)mod 10 =b

(ii) (2ac+a²+(bc+ac +a²-b)/10+(bc+a²-d)/100+(ab-b)/1000)mod 10 =d

Diese sind nur für a=7; b=0 und c=1 erfüllt mit

7770*117=909090

Nachprüfen zeigt, dass diese einzige Möglichkeit auch zu einer Lösung des vollen Problems führt.

-------

Alternative Lösung:

Es gilt folgende Darstellung für x,y,z :

Mit D:=10d+b folgt

z=D*(1+100+10000+..+100^14)

= D * Summe (k=0 bis 14 | 100^k )

= D * 3*3367*Summe (k=0 bis 4 | 10^6k )

= D * 3*7*13*37*Summe (k=0 bis 4 | 10^6k )

und

x=1110a*Summe (k=0 bis 4 | 10^6k ) + 111b*10^4*Summe (k=0 bis 3 | 10^6k ) + b

und

y=110c + a

Hieraus folgt insbesondere wenn nur 4 Stellen von x verwendet werden:

D* 3*7*13*37 = (1110a + b)*(110c+a)

=2² *5² *11*37ac + 2*5*11bc + 37*2*5a² + ab (*)

Da die Summe auf der rechten Seite durch 37 teilbar sein muss, folgt

37 teilt 2*5*11bc+ab = (110c+a)b

110c+a ist aber nur für a=c durch 37 teilbar, da 111=3*37

Also muss b Vielfaches von 37 sein. Das ist bei einstelligem b nur für b=0 möglich.

Die Gleichung (*) reduziert sich somit durch einsetzen von b=0 und D=10d+b=2*5*d zu

a*(110c+a)=7*13*d

110c+a muss damit ein Vielfaches von 13 sein und höchstens das 9-fache, da d einstellig ist.

Wegen 9*13=117 folgt a=7 und c=1

Also, viel habe ich noch nicht. Nur erst mal das, was ich auf Anhieb sehe:

- Die einzige Ziffer, die 0 werden kann, ist b.

Das würde auch erklären, warum b*a auf b endet.

- Anderenfalls könnte aber a auch 1 sein.

- Wenn a*b eine zweistellige Zahl ergibt, gäbe es die Kombinationsmöglichkeiten:

2*6 = 12

4*6 = 24

5* (jede ungerade Ziffer)

8*6 = 48

- a*c muss einstellig werden, da das Produkt aus der 28-stelligen Zahl mit der dreistelligen eine 30-stellige ergibt.

Damit entfällt nun a = 1

(Da das Produkt sonst mit c beginnen müsste)

--------------

Zweiter Teil der Überlegungen:

Das Produkt enthält 30 Ziffern und zwar 15d und 15b.

Die Quersumme ist 15(d + b).

Also ist das Produkt durch 3 teilbar.

Die Quersumme des ersten Faktors ist

15a + 13b= 3(5a + 12b) + b.

Das ist nur durch 3 teilbar, wenn auch b durch 3 teilbar ist, anderenfalls müsste 2c + a durch 3 teilbar sein.

(Alle diese Überlegungen gelten in dem inzwischen von Susi genannten Zahlenbeispiel. Noch jedoch ist nicht sicher, ob es sich dabei um die einzige Lösung handelt.)

----------------------------------

Dritter - leider erfolgloser Ansatz:

Heute - am Strand bei annähernd 30°C -

habe ich noch festgestellt, dass sich das Produkt auch schreiben lässt als:

Summe über i = 0 bis 7 von (10d + b) * 10^2i

Und da verließen sie ihn dann

:-(

Na, dann bin ich auch mal gespannt.

Hast du dich nicht vertippt, das letzte "b" auf der rechte Seite?

Kommt da nicht ein Komma vor?