Wieviele n-stellige Zahlen haben nur verschiedene Ziffern?

Das Urnenmodell dazu:

9 Kugeln beschriftet mit 1, 2 .. 9 in die Urne. Gezogen wird n-Mal ohne Zurücklegen. Nach dem ersten Ziehen wird eine Kugel mit der Nummer 0 in die Urne gelegt. (Die 0 darf nicht als erste Ziffer gezogen werden.)

n darf maximal 10 sein, weil danach die Urne leer ist.

Bei Zahlen mit einer anderen Ziffernbasis kann n maximal die Ziffernbasis sein.

Die Anzahl der Möglichkeiten bei dieser Lotterie = Anzahl der Zahlen die nur verschiedene Ziffern haben. Jede Ziffer kann höchstens einmal vorkommen, weil die Kugel nach dem Ziehen nicht zurückgelegt wird.

Für die 1. Kugel gibt es 9 Möglichkeiten, weil 9 Kugeln in der Urne sind.

Für die 2. Kugel gibt es 9 Möglichkeiten, weil 8 "alte" Kugeln und die Kugel mit der 0 in der Urne sind.

...

Für die n-te Kugel gibt es 10 - (n-1) = 11-n Möglichkeiten, weil von den ursprünglichen 10 Kugeln zuvor n-1 Kugeln gezogen wurden.

1: Anzahl = 9

2: Anzahl = 9*9

3: Anzahl = 9*9*8

n: Anzahl = 9*9* ... * (11-n) = 9 * ( 9! / (11-n-1)! ) = 9 * ( 9!/(10-n)! )

erstes "=", weil sich beim Ausdruck 9! / (11-n-1)! von der 9! alle Faktoren 1, 2, 3, ... bis zum Faktor 11-n-1 kürzen.

Hallo hier mal das Beispiel an einer 4 Stelligen Zahl:

Es können 9 verschiedene Ziffern die erste sein, also rechnen wir mal

9*

Als zweite Ziffer sind es wieder 9 Ziffern, weil die Null dazu kommt.

Also 9*9

Für die dritteStelle gibt es nur noch 8 verschiedene Ziffern.

Also 9*9*8

Für die vierte Stelle gibt es dann nur noch 7 verschiedene

Ziffern.

Also 9*9*8*7 = 4536

Daraus lässt sich mit ein wenig Überlegung die Formel herleiten.

(9*9!)/(10-n)!

Das ist genau die Lösung für n Stellen.

Bei einer Variablen kommt zwangsweise wieder ein Ausdruck als Ergebnis und keine einfache Zahl.

Spontan würde ich sagen : n