Eine Mathematikaufgabe: Beweisen?

Question

Die Fragestellung ist:

Begründe: 2x^4 – 3y^2 = 117 hat für natürliche Zahlen x und y keine Lösung.

Mein Ansatz:

Endziffer von x..... |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
Endziffer von 2x^4|0|2|2|2|2|0|2|2|2|2

mögliche Endziffer für 2x^4 : 0 und 2

Endziffer von y..... |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
Endziffer von 3y^2|0|1|4|9|6|5|6|9|4|1

mögliche Endziffer für 3x^2 : 0; 1; 4; 9; 6 und 5

aber ...2 - ...5 = ...7

formen wir die Gleichung um:

2x^4 – 3y^2 = 117
2x^4 = 117 + 3y^2
2x^4 = 3(39 + y^2)

d.h. 39+y^2 muss durch 3 teilbar sein und zusätzlich durch 2,
welches aber möglich ist:

z.B. y = 15; 39 + 225 = 264; 3|264 und 2|264, 
da 264 = 2*2*2*3*11

Ich weiß nicht weiter, könnt ihr weiterhelfen?

Viele Grüße
fragen1993

Stefan E · Accepted Answer

Klar doch! Da 117 durch 3 teilbar ist folgt wohl, dass 2x^4=117+3y² auch durch 3 teilbar ist. Das ist wohl nur möglich, wenn x durch 3 teilbar ist. Da 117 durch 9 teilbar ist, ist damit -3y² = 117-2x^4 auch durch 9 teilbar. Damit muss neben x auch y mindestens eine drei als Faktor besitzen. Damit folgt aber, dass 2x^4-3y² durch 27 teilbar ist. Eine ganze Zahl, die durch 27 teilbar ist, kann aber nicht gleich 117 sein, die nicht ohne Rest durch 27 geteilt werden kann. Daher kann es keine Lösung der Gleichung geben.

Eine Mathematikaufgabe: Beweisen?

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