Lagebeziehungen von Vektoren, etc????

1a)

Der Ortsvektor ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung O zu dem Punkt hingeht. Er hat also immer die gleichen Koordinaten wie der Punkt selber.

Ein Beispiel in der Ebene:

Der Ortsvektor des Punktes P(2/5) geht von O(0/0) nach P(2/5),

hat also die Koordinaten

OP = (2/5) - (0/0) = (2-0/5-0) = (2/5)

Oder mit den Basisvektoren i und j OP = 2i + 5j

Im Raum analog:

Der Ortsvektor des Punktes Y( 2/5/-2)

hat die Koordinaten OY(2/5/-2)

Als Linearkombination der Basisvektoren i,j,k:

OY= 2i + 5j - 2k

Du brauchst für den Ortsvektor OM in Aufgabe 1a die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke von A nach B.

Die bekommst Du, indem Du das arithmetische Mittel der Koordinaten von A und B bildest.

Das arithmetische Mittel zweier Zahlen bildest Du, indem Du sie addierst und dann durch 2 teilst.

Also Beispiel:

Das arithmetische Mittel von 3 und 11 ist

(3 + 11)/2 = 7

Beispiel in der Ebene:

Die Strecke AB liege zwischen A(3/7) und B(11/-1).

Dann ist ihr Mittelpunkt M(7/3)

Sein Ortsvektor OM hat die Koordinaten (7/3),

also OM = 7i + 3j

Das kann man auch relativ einfach zeichnen.

Bei Deiner Aufgabe hast Du aber drei Koordinaten, also brauchst Du zum Zeichnen ein räumliches Koordinatensystem.

Das kann man in Kavalierperspektive, isometrischer oder dimetrischer Darstellung zeichnen.

Ich weiß nicht, was Ihr im Unterricht bevorzugt. Sonst würde ich Dir hier auch noch ein paar Tipps geben.

1b)

Um die Koordinaten des Ortsvektors c = OC zu erhalten, musst Du mit den Koordinaten von a = OA und b = OB rechnen.

"- 1/2 b" heißt also,

Du musst die Koordinaten von B jeweils mit (- 1/2) multiplizieren.

"a - 1/2b" heißt,

Du musst zu den Koordinaten von a = OA jetzt die Koordinaten von (-1/2 b) addieren.

Beispiel für die Ebene

(wo Du das auch schnell problemlos zeichnen kannst)

Sei P(2/5) und Q(4/-6) gegeben:

p - 1/2 q = OP - 1/2 OQ = (2/5) + (-2/3) = (0/8)

Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer vorgegebenen Geraden liegt, brauchst Du erst mal die Parametergleichung der Geraden.

Dafür brauchst Du erst mal den Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden, um vom Ursprung O ja erst mal auf die Gerade zu kommen.

Dann brauchst Du einen Richtungsvektor auf der Geraden, um zu wissen, in welche Richtung Du weiter gehen musst.

Also in meinem Beispiel aus der Ebene:

Durch OP(2/5) kommst Du von O auf Deine Gerade.

Und da gehst Du jetzt in Richtung PQ weiter.

PQ kriegst Du durch OQ - OP.

In meinem Beispiel wäre das

(4/-6) - (2/5) = (2/-11)

Die Gleichung für alle Punkte auf der Geraden erhältst Du, indem Du nun von P aus beliebig weit nach vorne oder hinten in dieser Richtung läufst,

also k(2/-11),

wobei k eine beliebige reelle Zahl ist.

Also:

OX = OP + k PQ (k€P)

OX = (2/5) + k (2/11)

Wenn man die Koordinaten eines Punktes einsetzt, kann man nun sehen, ob er auf der Geraden liegt oder nicht,

je nach dem, ob sich das Gleichungssystem lösen lässt und man k ermitteln kann, oder nicht.

X1( -2/-17) liegt drauf,

denn (2/5) -2(2/11) = (-2/-17)

X2(-2/17) liegt nicht drauf.

(nun musst Du das auf Dein Beispiel im Raum - also mit den drei Koordinaten - übertragen)

Zur zweiten Aufgabe:

2a) Bei der Ebene ist das ähnlich wie bei der Geraden.

Erst mal musst Du auf die Ebe rauf, also von O zu einem Punkt der Ebene.

Beispiel aus Deiner Aufgabe: OA = (8/5/5)

Und von A aus wanderst Du jetzt beliebig weit inRichtung von AB (also b - a) und in Richtung von AC (also c - a)

Die Gleichung der Ebene kriegst Du also durch

OA + r AB + s AC, wo r und s wieder beliebige reelle Zahlen sind.

2b)

Das Typische an einem Parallelogramm ist, dass die gegenüber liegenden Seiten parallel und gleich lang sind.

Also ist der Vektor von A nach D der gleiche wie der Vektor von B nach C.

Also kommst Du von O nach D, indem du erst mal von O nach A gehst und von da aus nach D genauso wie von B nach C

Also: OD = OA + BC

(wobei BC = OC - OB)

War das jetzt gut genug erklärt?

Oder habe ich doofes Schaf mich mal wieder zu umständlich ausgedrückt????

Chapeau Madame Racine, je suis frappé !

Oh mein Gott. Mein Kopf blutet.