Ein Rätsel zum Donnerstag Nachmittag: Des Bauer´s Ziege?

Ich komme auf eine Fläche

(korrigiert):

A = 25 π – 41 arccos(0,3)-1,5√(91).

≈12,3204777345312 m² oder etwas vergröbert ≈12⅓ m².

Meine Rechnung:

Nenne den Mittelpkt der Wiese M, den Pflock P und die Schnittpkte der beiden Kreise S und T, ferner den Zentriwinkel bei M ∡(TMS)=γ und ∡(SPT)=α und ∡(MSP)=β.

Dann gilt:

ΔSPM ist gleichschenklig, also β = ½α und ½γ = π - ½α – β = π – α

Nach dem Cosinus-Satz ist SP²=MS²+MP²-2*MS*MP*cos½γ

Da SP=3 und MS=MP=5 und cos½γ = cos(π – α)= –cos α folgt somit

9=25+25+50 cos α ⇒cos α= – 41/50 oder cos½α = 0,3

daher ist α = 2*arccos 0,3

Die Fläche A setzt sich aus den beiden Kreissegmenten A5 und A3, die durch die Strecke ST entstehen zusammen. Für Kreissegmente gilt die Formel A=½r²( α –sin α). Also

A5=½*5²( γ –sin γ). A3=½*3²( α –sin α).

Und A=A5+A3=12,5 γ+4,5 α-(12,5 sin γ +4,5sin α ) mit (*) und (**) folgt

----------------(bei dieser Umformung hatte ich bei meiner Nebenrechnung einen Faktor 2 übersehen, richtig folgt hier:)

A=25 π – (41/2) α –25 sin α und sin α = 3/50 * √(91)

= 25 π – 41 arccos(0,3)-1,5√(91)

≈12,3204777345312

.□

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@Ti:

Du hast recht: Bei der vorletzten Umformung hatte ich einen Faktor übersehen. Die Stelle ist nun korrigiert.

Ich bin auf die schnelle dran gescheitert. Man muß die Fläche der beiden Kreissegmente berechnen die sich durch teilen einer Geraden durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ergibt. Die Kreissehne läßt sich durch das gleichschenklige Dreieck berechnen - dessen Schenkel je 3m lang sind. Da hab ich keine Formel gefunden - da fehlt mir der Trick wie man auf den Winkel kommt.

Ersten stelle ich mir die Frage, wo der Sinn der Leine bei einer Umzäunten Wiese ist........

Zweitens bin ich jetzt zu faul zum Rechnen, aber man müsste

den Kreisbogen von 3 Metern radius zu dem Kreisbogen von 5 Metern Radius verrechnen.....

Also Daumen mal Pi ca 5m²

PS @ Antworter. PFOSTEN AM RAND DER WIESE....

Und einen speziellen, eine Ziege, und nicht eine Kuh ^^

...+ Länge der Ziege: 2 Meter ... *brüll*

Also müsste sie mit dem Hinterteil das Fressen lernen? Alternativ kann man sie ja am Schwanz anbinden.

*kopfschüttel*

Aber um zu wissen, wieviel Fläche die Ziege zur Verfügung hat, müsste man auch wissen, wo das Ende der 3m-Leine befestigt ist. Am Rand des Zaunes hat sie ja logischerweise weniger Fläche zur Verfügung wie mittig im Kreis.

12,32 m² habe ich ausgerechnet. Die Lösungswege finden sich bei http://matheplanet.com/default3.html?call=dl.php?i...

Und während ich noch rechnete, hat Cardano wieder die Nase vorn.

@Cardano

Genau, Faktor 2 hatte ich auch vermutet. Aber wie sagte schon Gorbi, wer zuspät kommt... :-))

so ganz schnell im kopf ohne lang rum zu rechnene circa 3,5 m²

Ich stell mir mal vor, ich bin die Ziege, dann beiße ich die Leine durch, fresse vormittags die ganze Wiese und lass mir nachmittags die Sonne auf den vollen Bauch scheinen!

Der Ziege steht eine Fläche von 12,32qm zur Verfügung plus noch mal ein paar qcm, wenn sie den Hals streckt.

Die Fläche sieht etwa mandelförmig aus.

Etwa 28.27 m²?

@ Michael: Wo kommst du denn her, wo Ziegen 2m lang sind?^^

Ich denke, das das ganze nur mit einer wunderschönen Integral-Rechnung zu bestimmen ist. Da ich die aber leider nicht mehr kann ...naja wird da draus nix^