"Sei [x] der ganzzeilige Anteil" ... Kleine Aufgabe ohne Ahnung?

Question

Sei [x] der ganzzeilige Anteil einer reellen Zahl x, also z.B. [2,31]=2 oder [4,934]=4.
Bestimmen Sie

Das Integral von -1/3 bis 5/2 über [x]dx.

Wie mache ich das? Die Aufgabenstellung ist mir irgendwie zu undurchsichtig, hat jemand vielleicht eine Idee?

Liebe Grüße
Micha

Dsquared · Accepted Answer

Die Lösung von Rikki ist nicht ganz richtig, falls ich mich nicht irre.
Im Intervall [-1,0) wäre [x] = -1, und somit (basiert auf ihre Vorgehensweise):
I1a := (-1/3,0); i1a = (-1)*(0-(-1/3)) = (-1)*(1/3) = -1/3.
I1b := [0,1); i1b = 0*(1-0) = 0.
I2 = [1,2); i2 = 1.
I3 = [2,3); i3 = 1.

---> Integral ist: i1a + i1b +i2 +i3 = -1/3 + 0 +1 +1 = 5/3.

Rikki · Answer

f(x) = [x] wÃ¤re, wollte man's ordentlich integrieren, nur abschnittsweise integrierbar, also in den betroffenen Intervallen
(-1; 1); [1; 2); [2; 3) = I1, I2, I3

in I1: f(x) = 0 somit F(x) = 0 + C
in I2: f(x) = 1 somit F(x) = x + D
in I3: f(x) = 2 somit F(x) = 2x + E

Deine zu summierenden Integrale:
(hier in eckigen Klammern die Stammfkt.)
i1 = [ 0 ] von -1/3 bis 1 (fÃ¼r 1 sogar nur der Grenzwert!)
i1 = 0
i2 = [x] von 1 bis 2 (fÃ¼r 2 der Grenzwert)
i2 = 2-1 = 1
i3 = [2x] von 2 bis 2.5
i3 = 5-4 = 1

i1+i2+i3 = 0+1+1=2


Du kannst dir f(x) = [x] auch einfach aufzeichnen von -1 bis 3 und die FlÃ¤chen der Rechtecke addieren.

Lucius T Fowler · Answer

Ach herrje, das ist diese blÃ¶de treppenfÃ¶rmige integer-Funktion. -0,3 bis 2,5, dann ist der Funktionswert bis 1 null, von 1 bis 2 ist er 1, und von 2 bis 2,5 ist er 2. Wenn man's zeichnet, ist die FlÃ¤che zwischen "Treppe" und x-Achse 2. (1x1 + 1/2x2). Aber keine Ahnung, wie man's rechnet.

"Sei [x] der ganzzeilige Anteil" ... Kleine Aufgabe ohne Ahnung?

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