Matheaufgabe - exponentiale Funktion?

Question

diese Matheaufgabe habe ich als Hausaufgabe aufbekommen, eigentlich reichen meine Mathekenntnisse für den Unterricht aus, aber hier fällt mir nix ein, daher stelle ich diese frage aus interesse und nicht weil ihr meine hausaufgaben machen sollt.

Eine Funktion 3. Grades ist gesucht. [  f(x)=ax^3+bx^2+cx+d   ]
-die funktion hat bei x=0 eine Nullstelle. ( geht durch den Ursprung)
-bei dem Punkt P(3|-6) hat der Graph einen Tiefpunkt.
-An der Stelle x=1 hat die Tangente einen Anstieg von m=8/3.
------------
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
weil sie durch den Nullpunkt geht, fällt "d" weg, "d" ist nur zur verschiebung auf der y-Achse da.
auf folgende zwei Gleichungen bin ich gekommen:
-6=a3^3+b3^2+c3
8/3=3a^2+2b+c  (Ableitung=8/3)

man muss jetzt a, b und c bestimmen und da liegt das Problem. Ich weiß nicht wie ich 3 Variablen ausrechnen soll, bei 2 könnte man ja die eine Gleichung in die andere einsetzen, aber so.

hoffe ihr könnt mir auf die sprünge helfen.
MG dampiQ

nad · Accepted Answer

du hast eine angabe vergessen: den tiefpunkt
tiefpunkt bedeutet extrema, was wiederum bedeutet, dass die 1. ableitung dort gleich null ist
f'(3)=0

dann hast du also 3 gleichungen und 3 variablen und kannst diese mittels 'gaußschen lösungsalgorithmus' lösen

also:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c

gegeben ist:
I   f(0) = 0
II   f(3) = -6
III   f'(3) = 0
IV   f'(1) = 8/3

I   0 = d
II   -6 = 27a + 9b + 3c + d
III   0 = 27a + 6b + c
IV   8/3 = 3a + 2b + c
______________________

3 gleichungen, gauß'schen lösungsalgorithmus anwenden, das bedeutet, dass du 3 gleichungen zu 2 zusammenfasst (mittels addition), die davor aber so 'umformst', dass eine variable rausfällt, hier wähle ich das 'b'

I   -6 = 27a + 9b + 3c             
II   0 = 27a + 6b + c                    | * (-1,5)
III   8/3 = 3a + 2b + c                  | * (-4,5)

ich multipliziere also gleichungen II und III mit den faktoren rechts, und addiere dann diese mit der gleichung I, man erhält also folgende gleichungen
______________________

I+II   -6 = -13,5a + 1,5c                      
I+III   -18 = -13,5a - 1,5c                  

dies wiederhole ich einfach nochmal, um auf eine gleichung mit nur noch einer variablen zu kommen, diesesmal reicht es, die gleichungen zu addieren, um das c zu eliminieren
______________________

-24 = -27a                                   | : (-27)
a = 8/9

jetzt setzt man dieses 'a' in eine der gleichungen I+II oder I+III ein, um'c' herauszubekommen

beispiel:
I+II   -6 = -13,5*(8/9) + 1,5c 
-6 = -12 + 1,5c                        |+12
1,5c = 6                                   | : 1,5
c = 4

dies wiederholen, um 'b' herauszubekommen (in eine der ausgangsgleichungen einsetzen)

 II   0 = 27a + 6b + c     
0 = 27*(8/9) + 6b + 4
0 = 24 + 6b + 4
0 = 28 + 6b                             | -28
-28 = 6b                                  | : 6
b = -14/3

die gesuchte gleichung ist also:

f(x) = 8/9x³ - 14/3x² + 4x

uf · Answer

ja. das stimmt so.

Eva E · Answer

http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html

Ziemlich weit unten wird diese Art Funktionen gut erklÃ¤rt.
HTH, Eva

Matheaufgabe - exponentiale Funktion?

3 Antworten