Ich hab ne Frage zum Thema Mathematik, Wurzeln und Perioden! (s.Details)?

Du bist einfach an die Genauigkeitsgrenze deines Taschenrechners gestoßen. Der rechnet intern mit einer gewissen Anzahl an Nachkommastellen und rundet aber das Ergebnis für die Ausgabe auf dem Display. Durch das viele Wurzelziehen wurde die 1.04427.. schon gerundet, beim quadrieren wurde nun die gerundete Zahl benutzt und auf dem Display 2 ausgegeben. Intern steht dabei aber eine leicht kleinere Zahl, so das diese dann quadriert weniger (genauere Differenz 8,4^-10 = -0,00000000084) als 4 ergibt.

Die Genauigkeit deines Taschenrechners ist begrenzt, was du hier wunderbar gezeigt hast. Die Wurzel von 2 ist irrational, das weiß der Taschenrechner aber nicht und rechnet mit einem gerundeten Wert weiter, der zb etwas kleiner ist als der wirkliche Wert. Quadrierst du das wieder, kann es sein, dass der Wert 2 ausgegeben wird, intern aber mit einem etwas anderen Wert weitergerechnet wird, der erneut quadriert eben nicht genau 4 ausgibt, sondern lediglich 3,9999... .

Was das mit 3,9999... = 4 betrifft:

1/9 = 0,11111...

2/9 = 0,22222...

8/9 = 0,88888...

9/9 = 1 (gekürzt ;))

9/9 ist aber gleichzeitig auch 9*1/9, daher auch 0,999999... (mit periode).

Damit folgt dann: 0,99999 (periode) = 1

Nur am Rande.

Der Taschenrechner hat aber intern diese Überlegung nicht gemacht, und folglich mit 3,9999999999 (für den Taschenrechner ohne Periode!) weitergerechnet. Als du dann 4 abgezogen hast, bleibt dieser minimale Rest übrig, in deinem Fall -8,4^-10 (also -5,71751 * 10^-10 = -0,0000000005717)

Wenn aber auf dem Display eigentlich das hier stand:

-8,4e-10 (oder auch mit großem E: -8,4E-10), dann ist -0,00000000084 gemeint. (Das E steht praktisch für "mal zehn hoch", wird zb sehr häufig in der Physik genutzt, weil man meistens keine Lust hat, so viele Nullen zu schreiben)

Das was da passiert sind Rundungsfehler. Dein Taschenrechner rechnet nicht mit unendlich vielen Stellen, sondern nur mit einer endlichen Stellenzahl. Gebräuchliche sind 16 Stellen intern, von denen nur 12 dargestellt werden. dazu kommt noch dass die Darstellung der Gleitkommazahlen immer in der Form Mantisse (Zifferfolge) * 10 hoch Exponent (position des Komma erfolgt. Daher die seltsamen Ergebnisse.

Ein einfaches Bespiel 1/3*3 ist bekanntlich 1. Wenn man mit 2 Kommastellen rechnet und auf eine Kommastelle rundet kommt folgendes heraus:

1/3 =0,33 * 3=0.99 =gerundet 1.

Zieht man davon jetzt 1 ab

0,99 -1=0,01= gerundet auf 1 Stelle 1*10 hoch -2=0,01

Diese Rundungsfehler machen unter Umständen Probleme.

1. Wann sind zwei Gleitkomma zahlen gleich?

2. Wenn sehr viele Rechenoperationen erfolgen (nicht 8 wie in Deinem Bespiel, sondern Millionen), wie groß ist der Rundungsfehler?

3. Können die Rundungsfehler zu katastrophal falschen Ergebnissen führen?

Unter Unständen sind Nährerungslösungen, bei denen man den Fehler angeben kann zuverlässiger als "exate" Lösungen, bei denen man den Rundungsfehler nicht kennt.

Nachtrag zur Nachfrage:

Ja Dein Taschenrechner rundet. Und ein gerundetes Ergebnis ist oft ungleich dem exakten Wert. Und er rechnet mit den gerundeten Wert weiter. Die Abweichung zwischen dem gerundeten und dem exakten Wert wird in der Regel mit jeder Rechenoperation größer. Diese Rundungsfehler macht jeder Computer/Taschenrechner wenn mit Kommazahlen gerechnet wird.

3,99999Periode hat den Grenzwert 4 oder ist umgangssprachlich gleich 4. Jedoch wenn Dein Taschenrechner 3,99 (bin mal faul und spare mir einige 9en), dann weisst Du nicht, ob das 3,99Periode ist oder 3,985 aufgerundet oder 3,995 abgerundet. Vielleicht rundet Dein Taschenrechner immer ab (machen die meisten), dann könnte es auch 3,997 sein oder irgend eine andere Zahl. Jeder wird so eine Zahl auf 4 runden, aber 3,99 ist nun mal 3,99 und nicht 3,99Periode.

In der "reinen" Mathematik kann man sich gut streiten, dass 3,999999999999<>4 ist. Umgerechnet auf den Erdumfang hiese das, sich steiten, ob sie veilleicht doch 1/10 mm dicker ist.

Es gibt übrigends zwei Ansätze diese Rundungsprobleme zu lösen. Es gibt Computeralgebraprogramme (Mathematica, Maxima, MathCAD), die versuchen so weit irgend möglich algebraisch zu rechnen. Bei denen ist 1/4+1/2 nicht 0,75 sondern 3/4.

Der andere Ansatz ist Intervallrechung (cxsc,pxsc). Statt 1+1=2 wird da gerechnet: [ 0,99 .. 1,01 ]+[ 0,99 .. 1,01 ]=[ 1,98 .. 2,02 ](Die beiden Zahlen in den Klammern stehen für einen Zahlenbereich von .. bis.)

Wenn ich das richtig sehe, dann gehts dir ja nicht um das Problem des Rundungsfehlers, sondern um eine Grenzwertbetrachtung. Der Grenzwert von 3, 99999........ ist tätsächlich 4, aber dazu musst du die Zahl der Nachkommastellen gegen unendlich gehen lassen, ohne dass sie selbstverständlich unendlich sind. Das ist die grundlegende Idee der gesamten Infinitesimalrechnung: Man lässt ein Intervall gegen Null gehen, ohne dass es Null wird. Dann rechnet man aber mit dem Grenzwert weiter.

3,9999..... ist also nicht Vier, aber es ist kein Fehler, es gleich 4 zu setzen. Alles klar?

Zum Taschenrechner-Problem ist, glaube ich, alles gesagt. Zu Deiner anderen Frage: "3 komma Periode 9" ist tatsächlich gleich 4. (Dein Mathelehrer hat also in diesem Sinne recht.) Die Darstellung als Dezimalzahl ist nicht eindeutig.

Der mathematische Hintergrund: Die Dezimaldarstellung einer Zahl hat die Form

a_N*10^N + a_{N-1}*10^{N-1} + ... + a_1*10^1 + a_0*10^0 + a_{-1}*10^{-1} + a_{-2}*10^{-2} + ...

mit Ziffern a_N,a_{N-1},... zwischen 0 und 9. Man hat also eine unendliche Reihe vor sich. Die Aussage, dass "3 komma Periode 9" gleich 4 ist, bedeutet also, dass die beiden Reihen

4*10^0 + 0*10^{-1} + 0*10^{-2} + ...

und

3*10^0 + 9*10^{-1} + 9*10^{-2} + ...

den gleichen Grenzwert haben. (Wenn Du das beweisen willst und voraussetzen darfst, dass beide Reihen überhaupt konvergieren, kannst Du folgendermaßen vorgehen: Zeige, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl e einen Index K gibt, so dass die Differenz der endlichen Teilsummen bis zum Index K kleiner als e ist.)

Moin

das sind technisch bedingte rechenfehler im prozessor .

es gilt je teurer der rechner je mehr nachkommastellen sind genau dh billig bis zur 10 stelle nach dem komma , teuer bis zu 20 stelle nach dem komma

es ist einfach nur eine frage wieviele stellen nach dem komma genau sein müssen für die normalen berechnungen in bildung und anwendung in betrieben reichen die 10 nachkommastell allemal

Mfg