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Wie kann ich die Periodenlänge bei Brüchen bestimmen?
Bsp.: 55/56 = 0,982142857142857...(Periodenlänge=6)
Zerlegung in Primfaktoren, also 56 = 2 x 2 x 2 x 7; da 3 Zweien im Primfaktorprodukt vorkommen, sind also in der Dezimaldarstellung drei Dezimalstellen vorhanden, bevor die Periode beginnt. Aber wie komme ich darauf, dass die Periodenlänge 6 ist?
4 Antworten
- vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Enthält der Nenner nicht 2 und/oder 5 als Primfaktoren, ergibt sich eine reine Periode (Periode beginnt gleich nach dem Komma).
Eine solche Periode rechnet man wieder in einen Bruch zurück, indem man die Ziffernfolge der Periode als Zähler nimmt und in den Nenner so viele Neuner schreibt, wie die Periode lang ist.
Bsp: 0,358358358358... = 358/999.
Damit kann man umgekehrt sagen, dass die Länge einer Periode bei einer reinperiodischen Zahl davon abhängt, in welche Zahl, die nur aus den Ziffern 9 besteht, der Nenner zum ersten Mal als Teiler erhalten ist. Bei der 7 ist dies 999999, denn 7 ist weder Teiler von 9 noch von 99, noch von 999, noch von 9999 noch von 99999. Daher ist die Periodenlänge 6.
11 zum Beispiel ist Teiler von 99, daher haben alle Brüche mit Nenner 11 nur Periodenlänge zwei.
Die maximal mögliche Periodenlänge ist um eins kleiner als die Zahl im Nenner (wegen der Reste bei der Division, wie Schröder richtig sagte)
Da 56 außer 2 als einzigen Primteiler nur noch die 7 enthält, hat ein Bruch mit dem Nenner 56 auch nur Periodenlänge 6 (in diesem Fall ergibt sich eine gemischte Periode), auch wenn 56 kein Teiler von 999999 ist. Entscheidend für die Periodenlänge sind hier also nur die Primfaktoren, die von 2 und/oder 5 verschieden sind.
- ?Lv 7vor 1 Jahrzehnt
Also ich kenn nur die Methode bei der Division von Hand. Wenn ich in der Nachkommastelle den gleichen Wert bekomme UND der Rest gleich dem Rest dieser Division ist, dann habe ich die Periodenlänge. Bitte unbeding auf den Rest achten, denn es gibt Fällke in denen der anders ist als bei der vorherigen Ziffer. Dann ist die Periode noch nicht abgeschlossen.
- SchröderLv 4vor 1 Jahrzehnt
Bei der Division durch Sieben gibt es höchstens sechs verschiedenen Reste (nämlich 1,2,...,6). Daher ist die maximale Periondenlänge sechs. (Gibt nur die maximal mögliche Periodenlänge an, nicht die wirkliche.zB. bei der Division durch 3 gibt es zwei verschiedene Reste - 1 und 2 - die Periodenlänge ist aber nur 1).
AuÃerdem: ein Faktor 5 in der Primzahlzerlegung des Nenners spiel die gleiche Rolle wie ein Faktor 2
Quelle(n): Mein Mathelehrer
