Hey, ich bereite mich derzeit auf mein Matheabi (ist nächste Woche^^) vor und bin mal wieder auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich nicht so recht weiß wie ich vorgehen soll. Gegeben habe ich die Funktion f(x)=3(2/3x^3-x^2-3/2x+3). Diese habe ich schon vereinfacht auf f(x)=2x^3-3x^2-9/2x+9. Der Graph dieser Fkt. heißt Gf. Die Nullstellen und die Extrema habe ich auch bereits berechnet. Aber mit dieser Aufgabe komme ich nicht klar: Weisen Sie nach, dass die Gerade t mit der Gleichung t(x)=-6x+37/4 Wendetangente an den Graphen Gf ist. Aus t(x) kann ich ja den Anstieg m=-6 entnehmen. Aber wie geht es jetzt weiter? Wäre euch echt dankbar wenn ihr mir das erklären könntet :) Dankeschön!!!
Eiland2014-05-30T13:13:32Z
Beste Antwort
Wendetangenten sind die Geraden die auf einem Wendepunkt liegen.
Eine Funktion hat einen Wendepunkt in einem Punkt x, wenn die 2. Ableitung 0 ist.
Also muss du zunächst die 2. Ableitung berechnen (ich schreib gleich auch die 1. auf, denn die brauchst du auch)
Es ist:
f'(x) = 6x^2 - 6x - 4,5 f''(x) = 12x - 6
Für den Wendepunkt 2. Ableitung 0 setzen:
0 = 12x - 6 --> x=0,5
Also hat hat die Funktion im Punkt x=0,5 einen Wendepunkt. Jetzt wollen wir die Steigung der Tangente in diesem Punkt wissen, d.h. wir setzen x=0,5 in die erste Ableitung ein:
Die Steigung der Tangente beträgt also im Wendepunkt -6, also ist m=-6.
Also lässt sich die Tangente erstmal folgendermaßen aufschreiben
t(x)=-6x + b.
Jetzt wollen wir noch b berechnen. Wenn wir jetzt einen Punkt kennen, den die Gerade beührt, sind wir fertig (dann einfach den Punkt für x und y einsetzen und nach b auflösen).
Wir wissen dass die Gerade genau auf dem Wendepunkt liegt, der bei x=0,5 liegt. Um jetzt den y Wert an diesem Punkt rauszufinden, müssen wir x=0,5 in die Ursprungsfunktion einsetzen: