Hallo,
ich brauche dringend Eure Hilfe.
Ich soll mit einem Hoch - und Tiefpunkt und ein Wendepunkt die Funktion eines dritten Grades aufstellen.
H (-3|4) W (-2|2) T(-1|0)
So weit bin ich gekommen:
I = -27a+6b-3c+d
II = -27a-6b+c = 0
III = -8a-4b-2c+d
IV = -12a+2b = 0
Wie kann ich nun ein Vektor eleminieren? Brauche ich den Tiefpunkt auch noch nutzen, da ich schon 4 Informationen habe?
Wurzelgnom
Beste Antwort
Zunächst mal:
Den Tiefpunkt brauchst Du nicht unbedingt,
denn wenn man den Wendepunkt und den Hochpunkt kennt, ist der Tiefpunkt ohnehin bekannt.
Nur: Der Tiefpunkt hat Koordinaten, mit denen es sich einfach leichter rechnen lässt als mit dem Hochpunkt.
DESWEGEN würde ich den lieber nehmen.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c
f ''(x) = 6ax + 2b
Wendepunkt:
f ''(2) = - 12a + 2b = 0 => b = 6a
Jetzt einsetzen in die 1. Ableitung:
f '( - 1) = 3a - 12a + c = 0 => - 9a + c = 0 => c = 9a
Einsetzen in die Funktionsgleichung:
f ( - 1) = - a + 6a - 9a + d = 0 => d = 4a
Also:
f(x) = ax³ + 6ax² + 9ax + 4a
f( - 2) = - 8a + 24a - 18a + 4a = 2 => 2a = 2 => a = 1
a = 1, b = 6, c = 9, d = 4
y = f(x) = x³ - 6x² + 9x + 4
Peter3_1415
Eine ganzrationale Fkt. 3. Grade, hat die Form f(x)=ax³ +bx² +cx +d.
Du musst vier Buchstaben Ausrechnen, also brauchst du auch vier Gleichungen.
Die Ableitungen sind f´(x)= 3ax³+2bx+c und f´´(x)=6ax + 2b.
Als Bedingungen wären einmal die beiden Extrempunkte sinnig (H und T in f`(x) einsetzten).
Wenn ein Hochpunkt bei x=-3 und ein Tiefpunkt bei x=-1 liegt, muss dazwischen auch ein Wendepunkt sein.
Die beiden anderen Gleichungen sind Wendepunkt und Hochpunkt (alternativ auch Tiefpunkt) in der Ursprungsgleichung f(x).
Du brauchst mindestens eine Bedingung in f(x), da du sonst keine mit einem d hättest.
Demnach:
I 0 = 27a-6b+c_______[H in f´(x)]
II 0 = 3a-2b+c________[T in f´(x)]
III 4 = -27a+9b-3c+d___[W in f(x)]
IV 2 = -8a+4b-2c+d____[H in f(x)]__<-- alternativ auch T
Die Möglichkeiten der Auflösung sind vielfältig vom GauÃschen Algorithmus über das Einsetzungsverfahren, bis zum Additionsverfahren ist nun alles möglich.
Ich würde das ganze mit dem GauÃschen Algorithmus machen, der nichts anderes ist als eine bestimmte Vorgehensweise beim Additionsverfahren.
Das ganze läuft dann auf die Lösung eines linaren Gleichungssystems heraus. Da die schriftliche Erklärung wahnsinnig lang werden würde, empfehle ich Dir sehr dieses Video einmal anzusehen indem das ganze gezeigt wird. :)
http://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8
Als ich damals damit Probleme hatte, hat es mir auch geholfen. :)
Nach der fertigen Umstellung kommt raus, dass a=1 ; b=6 ; c=9 und d=4 gilt.
Die Funktion f(x)= x³ +6x² +9x +4 ist somit die Lösung.